2006-安徽卷理-08 单-对勾函数最值

本题导读

本题考查对勾函数在开区间上的最值判断。核心在于换元 $t=\sin x\in (0,1]$，把问题化为 $t+\frac{a}{t}$ 在 $(0,1]$ 上的最值分析，结合图象的趋向行为判断「有最小值而无最大值」。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 设 $a>0$，对于函数 $f(x)=\sin x+\frac{a}{\sin x}$ ($0<x<\pi$)，下列结论正确的是 ()

A. 有最大值而无最小值　　B. 有最小值而无最大值　　C. 有最大值且有最小值　　D. 既无最大值又无最小值

🔍【思路分析】

破题导航

换元：令 $t=\sin x$，$x\in (0,\pi )$ 时 $t\in (0,1]$，且 $t$ 能取遍 $(0,1]$。 转化为对勾函数：研究 $g(t)=t+\frac{a}{t}$ 在 $(0,1]$ 上的最值。 看端点行为：$t\to 0^{+}$ 时 $g\to +\infty$，说明无上界；最小值在对勾函数的拐点或端点 $t=1$ 处取得。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\sin x$。当 $x\in (0,\pi )$ 时，$t\in (0,1]$，且 $t$ 取遍 $(0,1]$ 内所有值，问题转化为求 $g(t)=t+\frac{a}{t}$ 在 $(0,1]$ 上的最值。

当 $t\to 0^{+}$ 时，$g(t)\to +\infty$，故 $g(t)$ 在 $(0,1]$ 上无最大值。

情形一：若 $0<a\le 1$，则 $\sqrt{a}\le 1$，对勾函数 $g(t)$ 在 $t=\sqrt{a}$ 处取得最小值 $2\sqrt{a}$。

情形二：若 $a>1$，则 $g(t)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减（$g^{\prime }(t)=1-\frac{a}{t^2}<0$），最小值在 $t=1$ 处取得，为 $1+a$。

综上，无论 $a$ 为何正值，$f(x)$ 都有最小值而无最大值，故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对勾函数 $t+\frac{a}{t}$ 的最值结构、闭半开区间上最值的存在性。
• 核心方法：换元 + 对勾函数分情形讨论。
• 避坑指南：不能直接套均值不等式「最小值 $2\sqrt{a}$」了事——它只在 $\sqrt{a}\le 1$（即 $a\le 1$）时可取到；$a>1$ 时最小值是 $1+a$，但两种情形「有最小值无最大值」的结论一致，这正是本题分情况的必要性所在。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是函数最值存在性判断的经典题，融合三角换元与对勾函数。 结论推广: $g(t)=t+\frac{a}{t}$ 在 $t\in (0,1]$ 上：$a\le 1$ 时最小值 $2\sqrt{a}$ 于 $t=\sqrt{a}$ 取得，$a>1$ 时最小值 $1+a$ 于 $t=1$ 取得；$t\to 0^{+}$ 发散保证无最大值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-10 单-函数值域最值
• 2007-四川卷理-09 单-二元目标函数最值