2006-安徽卷理-05 单-分段函数反函数

本题导读

本题考查分段函数反函数的求法。核心在于对每一段分别「反解 $x$、交换 $x$ 与 $y$、改写定义域」，特别注意各段反函数的定义域由原函数该段的值域决定。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 函数 $y=\{\begin{array}{ll}2x,& x\ge 0,\\ -x^2,& x<0\end{array}$ 的反函数是 ()

A. $y=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& x\ge 0,\\ \sqrt{-x},& x<0\end{array}$

B. $y=\{\begin{array}{ll}2x,& x\ge 0,\\ \sqrt{-x},& x<0\end{array}$

C. $y=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& x\ge 0,\\ -\sqrt{-x},& x<0\end{array}$

D. $y=\{\begin{array}{ll}2x,& x\ge 0,\\ -\sqrt{-x},& x<0\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

第一段：$y=2x$（$x\ge 0$）值域为 $[0,+\infty )$，反解得 $y=\frac{x}{2}$。 第二段：$y=-x^2$（$x<0$）值域为 $(-\infty ,0)$，由 $y<0$ 反解 $x^2=-y$，注意 $x<0$ 时开方取负号。 合并：各段反函数的定义域取原函数该段的值域。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\ge 0$ 时，$y=2x$，值域为 $[0,+\infty )$；反解得 $x=\frac{y}{2}$，故这一段的反函数为 $y=\frac{x}{2}$（$x\ge 0$）。 当 $x<0$ 时，$y=-x^2$，值域为 $(-\infty ,0)$；由 $y=-x^2$ 得 $x^2=-y$，又 $x<0$，所以 $x=-\sqrt{-y}$，故这一段的反函数为 $y=-\sqrt{-x}$（$x<0$）。 合并得反函数 $y=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& x\ge 0,\\ -\sqrt{-x},& x<0\end{array}$，故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数反函数的逐段求解、开方时的符号取舍。
• 核心方法：反解—交换—限定义域三步走。
• 避坑指南：第二段 $x<0$ 反解 $x^2=-y$ 时开方必须取负号 $x=-\sqrt{-y}$，选项 A 正是丢了这个负号；反函数的定义域是原函数的值域，两段的分界点 $0$ 不能写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是人教A版必修第一册「函数的应用」之前反函数概念的延伸题（旧课标教材内容）。 结论推广: 分段函数 $y=f(x)$ 存在反函数要求各段单调且值域不重叠；每段反函数的定义域为该段的值域，而不是该段定义域的照搬。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-05 单-对数型反函数
• 2007-北京卷理-02 单-反函数定义域值域映射关系
• 2007-安徽文-04 单-反函数是自身