2006-安徽卷理-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算。核心在于将分母实数化，把商化为 $a+b\mathrm{i}$ 的标准形式后求值。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 复数 $\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}$ 等于 ()

A. $\mathrm{i}$　　B. $-\mathrm{i}$　　C. $\sqrt{3}+\mathrm{i}$　　D. $\sqrt{3}-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

分母实数化：分子分母同乘分母的共轭 $\sqrt{3}+\mathrm{i}$，展开化简即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同乘 $\sqrt{3}+\mathrm{i}$： $\frac{(1+\sqrt{3}\mathrm{i})(\sqrt{3}+\mathrm{i})}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})(\sqrt{3}+\mathrm{i})}=\frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}+3\mathrm{i}+\sqrt{3}{\mathrm{i}}^2}{3+1}=\frac{\sqrt{3}+4\mathrm{i}-\sqrt{3}}{4}=\frac{4\mathrm{i}}{4}=\mathrm{i}.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数除法（分母实数化）与 ${\mathrm{i}}^2=-1$。
• 核心方法：分母实数化。
• 避坑指南：展开分子时 $\sqrt{3}\mathrm{i}\cdot \sqrt{3}=3\mathrm{i}$ 与 $\sqrt{3}\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}=-\sqrt{3}$ 两项最容易出错，实部恰好抵消是有意设计，不要怀疑计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是复数四则运算中的基础除法题，人教A版必修第二册第七章例题同型。 结论推广: 分母为 $a-b\mathrm{i}$ 时，同乘 $a+b\mathrm{i}$ 后分母化为 $a^2+b^2$，分子按多项式乘法展开即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算
• 2009-新课标Ⅰ文-02 单-复数除法
• 2010-天津文-01 单-复数除法