2006-安徽文-16 填-顶点到平面距离

本题导读

本题考查点线面间的距离，以及平行四边形的性质。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 平行四边形的一个顶点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内，其余顶点在 $\alpha$ 的同侧，已知其中两个顶点到 $\alpha$ 的距离分别为 $1$，$2$，那么剩下的一个顶点到平面 $\alpha$ 的距离可能是： ① $1$；② $2$；③ $3$；④ $4$。 以上结论正确的是 $\underline{}$。（写出所有正确结论的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设四顶点 $A,B,C,D$（$A$ 在 $\alpha$ 内），对角顶点到 $\alpha$ 距离之和相等：$d_A+d_C=d_B+d_D$。
2. $A$ 到 $\alpha$ 距离为 $0$，故 $d_C=d_B+d_D$。
3. $B,D$ 距 $1,2$：$d_C=3$，③ 成立。
4. $B,C$ 距 $1,2$：$d_D=2-1=1$，① 成立；$C,D$ 距 $1,2$：$d_B=2-1=1$，① 成立。
5. 距离 $2$（②）与 $4$（④）均无法取得，故正确结论为①③。

✅【答案】

Success

①③

✍【详细解析】

Abstract

平行四边形对角线互相平分，设对角线交点（中心）到 $\alpha$ 的距离为 $h$，则每对对角顶点到 $\alpha$ 的距离之和等于 $2h$。 由 $A$ 在 $\alpha$ 内（距离 $0$）：$d_A+d_C=d_B+d_D$，即 $d_C=d_B+d_D$。 分情形： (1) $B,D$ 距离为 $1,2$：$d_C=1+2=3$，③ 成立； (2) $B,C$ 距离为 $1,2$：$d_D=d_C-d_B=2-1=1$，① 成立； (3) $C,D$ 距离为 $1,2$：$d_B=d_C-d_D=2-1=1$，① 成立。 剩余顶点到 $\alpha$ 的距离只能取 $1$ 或 $3$，② $2$ 与 ④ $4$ 均不可能。 故正确结论为①③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：顶点到平面距离

核心方法：对称中心两侧距离互补

避坑指南：平行四边形对角顶点到平面距离之和相等：$B,D$ 距 $1,2$ 时 $C$ 距 $3$；$B,C$ 距 $1,2$ 时 $D$ 距 $1$；穷举各情形得①③

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自立体几何中的对称性距离问题，结论开放题

结论推广: 平行四边形对边中点连线性质推广到中心对称图形的距离分析

方法推广: 对角顶点到平面距离和相等，分情形穷举验证各选项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-湖南文-09 单-长方体外接球距离
• 2008-陕西文-08 单-长方体外接球面距离