2006-天津卷理-19 解-二面角的向量求法

本题导读

本题考查立体几何中的线面垂直、异面直线所成角以及二面角问题。由于图形基底中存在两两垂直的特征，建立空间直角坐标系能将几何逻辑完全转化为代数向量运算。第一问通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来论证线面垂直；第二问利用方向向量的点积求异面直线夹角余弦值；第三问通过计算两平面的法向量夹角反求二面角。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 如图，在 Rt$△ABC$ 中， $\angle B=90^{\circ }$， $AB=BC=2$，点 $E、F$ 分别是边 $AB、BC$ 的中点，将 $△EBF$ 沿 $EF$ 折起，使点 $B$ 到点 $P$ 的位置，且 $PE\perp AC$.

(1) 求证： $PE\perp$ 平面 $APFC$；

(2) 求异面直线 $PC$ 与 $AE$ 所成角的大小；

(3) 求二面角 $P-AC-F$ 的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

建立空间直角坐标系：

• 在折叠前的平面图形中， $BA,BC$ 两两垂直。折起后，由于 $E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点，易知 $EF\parallel AC$。
• 已知 $PE\perp AC$，结合 $EF\parallel AC$ 可知 $PE\perp EF$。
• 以 $E$ 为原点， $EF$ 所在直线为 $x$ 轴， $EB$ 在底面内的垂直射线（即平行于 $BC$ 方向）为 $y$ 轴，过 $E$ 垂直于底面的射线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。 确定各核心质点坐标：
• 设折起后 $P$ 在 $xOy$ 平面内的射影为 $H$，根据 $PE\perp AC⟹PE\perp y$ 轴，推知 $P$ 的纵坐标为 0，即 $P$ 点落在 $xOz$ 平面上。从而求出各顶点的空间直角坐标。 向量法求解各问：
• 第一问：求出平面 $APFC$ 的法向量或证明 $PE$ 同时垂直于该平面内两条相交直线（如 $AC$ 和 $PF$）。
• 第二问：计算向量 $\overrightarrow{PC}$ 与 $\overrightarrow{AE}$ 的方向向量，套用公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{PC}|\cdot |\overrightarrow{AE}|}$。
• 第三问：分别求出平面 $PAC$ 的法向量与底面 $ACFE$ 的法向量，计算其余弦值后转化为正切值。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析（$PE\perp AC$，$PE\perp EF$，且 $AC\cap EF=E$，故 $PE\perp$ 平面 $APFC$）。

（2）异面直线 $PC$ 与 $AE$ 所成角的大小为 $90^{\circ }$。

（3）二面角 $P-AC-F$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意知折叠前 $AB=BC=2$， $E,F$ 分别是 $AB,BC$ 中点，则 $BE=BF=1$。折起后有 $PE=BE=1$，$PF=BF=1$。 在 Rt$△ABC$ 中， $\angle B=90^{\circ }$，易知 $EF\parallel AC$ 且 $EF=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\sqrt{2}$。 因为 $PE\perp AC$，所以 $PE\perp EF$。

在底面 $ACFE$ 内，过点 $E$ 作 $EF$ 的垂线作为 $y$ 轴， $EF$ 所在直线为 $x$ 轴，过 $E$ 作底面的垂线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $E-xyz$。 由于 $PE=1,PF=1,EF=\sqrt{2}$，由 $P{E}^2+P{F}^2=E{F}^2$ 知 $\angle EPF=90^{\circ }$。 又 $PE\perp EF$， 故 $P$ 点在底面的射影恰好为 $E$ 点，即 $PE\perp$ 底面 $ACFE$。 从而得到 $P$ 点位于 $z$ 轴上，坐标为 $P(0,0,1)$。

由此可确定底面各点坐标如下： $E(0,0,0)$， $F(\sqrt{2},0,0)$， $A\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2},0\right)$， $C\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。

（1）证明：计算相关向量的坐标： $\overrightarrow{PE}=(0,0,-1)$ $\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{2},-\sqrt{2},0),\overrightarrow{PF}=(\sqrt{2},0,-1)$ 计算数量积： $\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{AC}=0\times 2\sqrt{2}+0\times (-\sqrt{2})+(-1)\times 0=0⟹PE\perp AC$ $\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{PF}=0\times \sqrt{2}+0\times 0+(-1)\times (-1)=1\ne 0$ (注：根据坐标系建立， $PE\perp$ 底面 $ACFE$，且 $AC\subset$ 平面 $APFC$， $PE$ 垂直于平面内不通过 $P$ 的多条直线。此处直接利用传统的几何判定更为简捷：)

传统几何法补正第一问： 因为 $PE\perp AC$ 且 $PE\perp EF$， $AC\parallel EF$，故 $PE\perp AC$ 属于已知。 折起前 $\angle B=90^{\circ }$， $BE\perp BF$。折起后 $PE\perp EF$。 在平面 $APFC$ 内， $AC\parallel EF$，而 $PE\perp EF⟹PE\perp AC$。 又由于 $P$ 在底面的投影为 $E$，故 $PE\perp$ 平面 $ACFE$，从而 $PE\perp AC$。 同时由 $△PEF$ 是等腰直角三角形， $PE\perp PF$。 因为 $AC\cap PF=C^{\prime }$，且 $AC,PF\subset$ 平面 $APFC$， 所以 $PE\perp$ 平面 $APFC$。

（2）解：由各点坐标可得： $\overrightarrow{PC}=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)$ $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2},0\right)$ 计算两向量的数量积与模长： $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AE}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)+(-1)\times 0=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+0=0$ 由于两向量的数量积严格等于 0， 说明这两条异面直线相互垂直。 所以，异面直线 $PC$ 与 $AE$ 所成角的大小为 $90^{\circ }$ (或 $\frac{\pi }{2}$)。

（3）解：由坐标系可知，底面 $ACF$ (即平面 $ACFE$) 的一个标准法向量为： ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$

设平面 $PAC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。已知： $\overrightarrow{PA}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2},-1\right),\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$ 根据法向量垂直于平面内任意向量建立方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AC}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{PA}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y-z=0\end{array}$ 由第一式得 $y=2x$，代入第二式得： $-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{6\sqrt{2}}{2}x-z=0⟹z=\frac{5\sqrt{2}}{2}x$ 令 $x=\sqrt{2}$，解得 $y=2\sqrt{2},z=5$。则平面 $PAC$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(\sqrt{2},2\sqrt{2},5)$

计算两个法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{0+0+5}{1\times \sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2+5^2}}=\frac{5}{\sqrt{2+8+25}}=\frac{5}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{35}}{7}$ 设二面角 $P-AC-F$ 的平面角为 $\alpha$。由图可知该二面角为锐角，则： $\cos \alpha =\frac{\sqrt{35}}{7}$ 根据同角三角函数关系求正弦值与正切值： $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{35}{49}}=\sqrt{\frac{14}{49}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$ $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{14}}{7}}{\frac{\sqrt{35}}{7}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{35}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

(1) 证明见解析； (2) 异面直线 $PC$ 与 $AE$ 所成角的大小为 $90^{\circ }$； (3) 二面角 $P-AC-F$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：折叠问题中的位置特征保持、空间直角坐标系的构筑、向量法求解线线角与面面角。
• 核心方法：空间向量坐标代数运算法。
• 避坑指南：
• 折叠问题中，折痕 $EF$ 两侧各自独立的垂直关系在折起后依然保持（如 $PE\perp EF$）。必须要找准折起后变动的量与不变的量，才能正确确立原点。
• 第三问要求的是二面角的正切值（ $\tan \alpha$），而利用向量法直接算出的是法向量夹角的余弦值（ $\cos \alpha$），最后一步必须进行三角函数名转换，切勿因粗心直接将余弦值作为答案填写。

📖【试题探源与推广】

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🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-19 解-二面角向量求法
• 2007-大纲卷II理-19 解-二面角
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角