2006-天津卷理-18 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查独立重复试验中随机事件概率的计算及离散型随机变量分布列的求解。核心在于准确理解“至少两次连续击中”、“第3次击中时恰好射击4次”等特定状态的代数构型，并在第三问中确立随机变量 $\xi$ 的取值范围，逐一计算概率写出完整的分布列。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 $\frac{3}{5}$，且每次射击的结果互不影响.

(1) 求射手在 3 次射击中，至少有两次连续击中目标的概率 (用数字作答)；

(2) 求射手第 3 次击中目标时，恰好射击了 4 次的概率 (用数字作答)；

(3) 设随机变量 $\xi$ 表示射手第 3 次击中目标时已射击的次数，求 $\xi$ 的分布列.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：记单次击中为中（中），未击中为不中（不）。在 3 次射击中，“至少有两次连续击中”包含三种互斥情况：中中不、不中中、中中中。由于每次独立，分别用乘法公式求出概率后再求和。 第二问：第 3 次击中目标时恰好射击了 4 次，意味着：前 3 次射击中恰好击中了 2 次，且第 4 次必须击中。利用独立重复试验（伯努利试验）公式计算前 3 次的组合概率，再乘以第 4 次击中的概率。 第三问：确定 $\xi$ 的可能取值。因为要第 3 次击中目标，所以最少需要射击 3 次，即 $\xi \in \{3,4,5,\dots \}$。根据高考传统独立事件大题的截断或概率分布通式特征，通常其分布列的完整求法需写出通项 $P(\xi =n)$ 并说明 $n\ge 3$ 的规律。

✅【答案】

Success

（1）$\frac{63}{125}$

（2）$\frac{162}{625}$

（3）$\xi$ 的分布列为

$\xi$	3	4	5	$\dots$	$n$	$\dots$
$P$	$\frac{27}{125}$	$\frac{162}{625}$	$\frac{648}{3125}$	$\dots$	${\mathrm{C}}_{n-1}^2{\left(\frac{3}{5}\right)}^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-3}$	$\dots$

即 $P(\xi =n)={\mathrm{C}}_{n-1}^2{\left(\frac{3}{5}\right)}^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-3}(n=3,4,5,\dots )$

✍【详细解析】

Abstract

解：设单次射击击中目标的事件为 $A$，则 $P(A)=\frac{3}{5}$，未击中的事件为 $\bar{A}$，则 $P(\bar{A})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。

（1）设“3次射击中，至少有两次连续击中目标”为事件 $M$。事件 $M$ 包含以下三种互斥的情况：

• 恰好前两次击中，第三次未击中（中、中、不）： $P_1=P(A)P(A)P(\bar{A})=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{18}{125}$
• 恰好后两次击中，第一次未击中（不、中、中）： $P_2=P(\bar{A})P(A)P(A)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{18}{125}$
• 三次全部击中（中、中、中）： $P_3=P(A)P(A)P(A)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{27}{125}$

根据互斥事件概率加法公式： $P(M)=P_1+P_2+P_3=\frac{18}{125}+\frac{18}{125}+\frac{27}{125}=\frac{63}{125}$

（2）设“第 3 次击中目标时，恰好射击了 4 次”为事件 $N$。 根据几何构型分析， 事件 $N$ 发生的充要条件为：前 3 次射击中恰好有 2 次击中目标，且第 4 次必须击中目标。 根据独立重复试验公式，前 3 次中恰好击中 2 次的概率为： $P_{\text{前3中2}}={\text{C}}_3^2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^2\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^1=3\times \frac{9}{25}\times \frac{2}{5}=\frac{54}{125}$ 所以事件 $N$ 的概率为： $P(N)=P_{\text{前3中2}}\times P(A)=\frac{54}{125}\times \frac{3}{5}=\frac{162}{625}$

（3）由题意可知，随机变量 $\xi$ 表示第 3 次击中目标时已射击的次数。 要实现第 3 次击中目标， 射手至少需要射击 3 次。因此， $\xi$ 的所有可能取值为 $3,4,5,\dots ,n,\dots$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $n\ge 3$)。

对于任意指定的取值 $\xi =n$ （ $n\ge 3$），其发生的几何代数逻辑为：在前 $n-1$ 次射击中恰好击中了 2 次，且第 $n$ 次必须击中目标。 因此， 其通项概率分布公式为： $P(\xi =n)={\text{C}}_{n-1}^2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^2\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^{(n-1)-2}\times \frac{3}{5}$ 合并同底数幂次项进行化简： $P(\xi =n)={\text{C}}_{n-1}^2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^3\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-3}=\frac{27}{125}{\text{C}}_{n-1}^2{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-3}(n=3,4,5,\dots )$

分别列出前几项的具体概率数值以展现分布列的全貌：

• 当 $\xi =3$ 时： $P(\xi =3)={\text{C}}_2^2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^3\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^0=1\times \frac{27}{125}\times 1=\frac{27}{125}$
• 当 $\xi =4$ 时：由 (2) 问可知 $P(\xi =4)=\frac{162}{625}$
• 当 $\xi =5$ 时： $P(\xi =5)={\text{C}}_4^2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^3\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^2=6\times \frac{27}{125}\times \frac{4}{25}=\frac{648}{3125}$

随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	3	4	5	$\dots$	$n$	$\dots$
$P$	$\frac{27}{125}$	$\frac{162}{625}$	$\frac{648}{3125}$	$\dots$	${\text{C}}_{n-1}^2{\left(\frac{3}{5}\right)}^3{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-3}$	$\dots$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：连续型互斥事件逻辑穷举、帕斯卡分布（负二项分布）通项模型构造、离散型无限可列状态分布列的规范书写。
• 核心方法：末项固定分析法、独立重复试验代入法。
• 避坑指南：
• 第一问计算“至少两次连续”时，切记“中不中”和“不中中”是不连续的，只有“中中不”、“不中中”和“中中中”满足连续两次击中的要求，列举时要细心。
• 第三问随机变量 $\xi$ 的取值具有无限递增性（可列无穷个），在书写分布列时，必须在表格末尾写出通项公式 $n$ 的表达式并用省略号结尾，否则会被阅卷老师认定为分布列不完整而扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查了概率论中经典的帕斯卡分布（Pascal Distribution，又称负二项分布）。是指在独立伯努利试验中，取得第 $r$ 次成功所需的总试验次数的概率分布。 结论推广: 推广至任意单次成功概率为 $p$ 的独立试验，其第 $r$ 次成功时已进行试验次数 $\xi$ 的通项概率满足： $P(\xi =n)={\text{C}}_{n-1}^{r-1}{p}^r(1-p{)}^{n-r}$ ($n\ge r$)。本题即为 $r=3,p=\frac{3}{5}$ 的特例形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2008-天津卷理-18 解-分布列
• 2008-广东卷理-17 解-分布列