2006-天津卷理-16 填-数列极限的计算

本题导读

本题是一道集平面向量多项求和、三角夹角正切转换、数列裂项相消、无穷级数极限于一体的填空压轴大题。核心在于利用向量首尾相接的几何性质将复杂的连加向量直接化简为起点到终点的唯一向量，进而将夹角正切转化为坐标比值，最终利用裂项消元法攻克极限。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}$，点 $A_0$ 表示坐标原点，点 $A_n(n,f(n))$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$). 若向量 ${\vec{a}}_n=\overrightarrow{A_0{A}_1}+\overrightarrow{A_1{A}_2}+\cdots +\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}$， ${\theta }_n$ 是 ${\vec{a}}_n$ 与 $\vec{i}$ 的夹角（其中 $\vec{i}=(1,0)$），设 $S_n=\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2+\cdots +\tan {\theta }_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

向量链化简：观察 ${\vec{a}}_n$ 的连加结构，其首尾相接： $\overrightarrow{A_0{A}_1}+\overrightarrow{A_1{A}_2}+\cdots +\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}=\overrightarrow{A_0{A}_n}$。因此， ${\vec{a}}_n$ 本质上就是从原点 $A_0$ 指向终点 $A_n$ 的单条向量。 写出坐标及夹角正切值：已知原点 $A_0(0,0)$， 终点 $A_n(n,f(n))$。所以向量 ${\vec{a}}_n=(n,f(n))$。由于基准向量 $\vec{i}=(1,0)$ 方向为 $x$ 轴正方向， 根据直角三角形几何意义， 向量与 $x$ 轴正方向夹角的正切值严格等于其纵坐标与横坐标的比值，即 $\tan {\theta }_n=\frac{y}{x}=\frac{f(n)}{n}$。 代入变形进行裂项求和：将 $f(n)=\frac{1}{n+1}$ 代入，得 $\tan {\theta }_n=\frac{\frac{1}{n+1}}{n}=\frac{1}{n(n+1)}$。这属于标准的等差相乘分式，直接拆分为 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，代入 $S_n$ 进行相邻项正负抵消。 求极限：对裂项求和后的封闭残差解析式取 $n\to \infty$ 的极限值。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据平面向量加法的多边形首尾相接法则（三角形法则的推广）， 复杂的向量连加多项式可以直接发生链式合并消元： ${\vec{a}}_n=\overrightarrow{A_0{A}_1}+\overrightarrow{A_1{A}_2}+\cdots +\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}=\overrightarrow{A_0{A}_n}$ 已知起点 $A_0(0,0)$ 为坐标原点， 终点坐标为 $A_n(n,f(n))$。 由此可以直接写出简化的向量 ${\vec{a}}_n$ 的空间直角坐标表示： ${\vec{a}}_n=(n-0,f(n)-0)=(n,f(n))$

因为已知基准向量 $\vec{i}=(1,0)$ 严格指向 $x$ 轴的正方向， 由平面直角坐标系中向量夹角的几何定义可知， 向量与 $x$ 轴正方向夹角 ${\theta }_n$ 的正切值等于其纵坐标分量除以横坐标分量： $\tan {\theta }_n=\frac{\text{纵坐标}}{\text{横坐标}}=\frac{f(n)}{n}$

将函数解析式 $f(x)=\frac{1}{x+1}$ 在正整数 $n$ 处的函数值 $f(n)=\frac{1}{n+1}$ 代入上式： $\tan {\theta }_n=\frac{\frac{1}{n+1}}{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

利用部分分式展开法（裂项相消法）对该通项进行拆分： $\tan {\theta }_n=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

接下来计算数列的前 $n$ 项和 $S_n$， 将拆分后的各项依次展开累加： $S_n=\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2+\tan {\theta }_3+\cdots +\tan {\theta }_n$ $S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ 可以观察到， 中间的所有相邻项（从 $-\frac{1}{2}$ 到 $+\frac{1}{n}$）全部发生正负对抗、完美抵消。 消元后整个和式仅剩下首尾两项， 得到 $S_n$ 的封闭表达式为： $S_n=1-\frac{1}{n+1}$

最后对 $S_n$ 取当项数趋近于无穷大（ $n\to \infty$）时的代数极限： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$ 由于当 $n\to \infty$ 时， 分式项 $\frac{1}{n+1}\to 0$， 故： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=1-0=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：多向量首尾拼接链式合并、向量与坐标轴正方向夹角正切公式（ $\tan \theta =y/x$）、高频裂项求和公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$、无穷分式数列的极限。
• 核心方法：向量链合拢法、裂项消元求和法。
• 避坑指南：
• 本题作为填空题最后一题（压轴位置），初看向量与三角函数复合极具唬人性。突破点在于不要去算每一个分向量 $\overrightarrow{A_{k-1}{A}_k}$ 的独立坐标，必须直接利用向量链的全局叠加性质一步收拢为 $\overrightarrow{A_0{A}_n}$，方可瞬间化繁为简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是在考查高等微积分级数求和中， 最著名的**望远镜求和级数（Telescoping series）**在高考命题中套用向量与函数外壳的顶级跨界融合题。 结论推广: 针对任意服从分式等差相邻积构成的无穷级数，其在正整数全域的求和净值恒呈现收敛常量定值： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-13 填-数列极限
• 2007-大纲卷II理-16 填-数列极限代数运算
• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算