2006-天津卷理-14 填-点到直线的距离公式

本题导读

本题考查直线与圆的相交弦长问题。核心在于利用垂径定理构建由圆半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，进而利用点到直线的距离公式反解出斜率参数。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 设直线 $ax-y+3=0$ 与圆 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 相交于 $A、B$ 两点，且弦 $AB$ 的长为 $2\sqrt{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

提取圆的核心常数：由标准方程可知圆心为 $M(1,2)$，半径 $R=2$。 利用垂径定理算弦心距：已知弦长 $|AB|=2\sqrt{3}$，半弦长为 $\sqrt{3}$。在直角三角形中，由勾股定理可算出圆心到直线的距离（弦心距） $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2}$。 点面距离公式求解：利用点到直线的距离公式列出关于 $a$ 的方程，求出 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

解：由圆的标准方程 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 可知： 圆心坐标为 $M(1,2)$，半径为 $R=2$。

设圆心 $M$ 到直线 $ax-y+3=0$ 的距离为 $d$。 因为直线与圆相交截得的弦长 $|AB|=2\sqrt{3}$，由垂径定理可知，半弦长、弦心距 $d$ 与圆半径 $R$ 构成直角三角形。 根据勾股定理可得： $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4-3}=1$

根据点到直线的距离公式，圆心 M(1, 2)} 到直线 $ax-y+3=0$ 的距离为： $d=\frac{|a\times 1-2+3|}{\sqrt{a^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$ 令距离等于 1， 建立方程： $\frac{|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}=1⟹|a+1|=\sqrt{a^2+1}$ 两边同时进行平方处理消去根号与绝对值： $(a+1{)}^2=a^2+1⟹a^2+2a+1=a^2+1$ 两边消去相同项得： $2a=0⟹a=0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：垂径定理的几何三角形构造（ $R^2=d^2+(L/2{)}^2$）、点到直线距离公式、无理方程的平方化简。
• 核心方法：几何勾股弦心距法。
• 避坑指南：
• 极其容易在平方后将 $2a$ 错算漏掉。务必按完全平方公式 $(a+1{)}^2=a^2+2a+1$ 严密展开，确保移项消元后结果准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何中直线与圆相交截弦性质最基础、最普适的常规标杆填空题。 结论推广: 针对所有形如 $Ax+By+C=0$ 与标准圆的截弦问题， 其弦心距刚性方程统一满足代数关系： $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sqrt{R^2-{\left(\frac{L}{2}\right)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-14 填-点到直线距离公式
• 2007-广东卷理-13 填-点到直线距离公式
• 2008-四川文-14 填-圆上点到直线距离