2006-天津卷理-13 填-点到平面的距离

本题导读

本题考查正三棱柱中的二面角与点面距离计算。核心在于利用正三棱柱的垂直对称性，找出二面角 $C-AB-C_1$ 的平面角为直角三角形内的内角，进而利用“等体积转换法”或直接通过平面垂向投影求出点到面的绝对距离。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $AB=1$. 若二面角 $C-AB-C_1$ 的大小为 $60^{\circ }$，则点 $C$ 到平面 $AB{C}_1$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

定位二面角的平面角：因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是正三棱柱，底面 $ABC$ 是正三角形。取 $AB$ 的中点 $D$，则底面中线 $CD\perp AB$。由于侧棱垂直底面，由三垂线定理易证斜线 $C_{1}D\perp AB$。因此， $\angle CD{C}_1$ 即为二面角 $C-AB-C_1$ 的平面角，大小为 $60^{\circ }$。 求解侧棱长高 $h$：在正三角形 $△ABC$ 中求出中线 $CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$。在直角 $△CD{C}_1$ 中，通过 $\tan 60^{\circ }$ 计算出侧棱高 $C{C}_1$ 的长度。 等体积转换求距离 $d$：设点 $C$ 到平面 $AB{C}_1$ 的距离为 $d$。建立三棱锥体积等式 $V_{C_1-ABC}=V_{C-AB{C}_1}$。求出底面正三角形面积 $S_{△ABC}$ 和斜面三角形面积 $S_{△AB{C}_1}$，代入反解出距离 $d$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$ （或 0.75）

✍【详细解析】

Abstract

解：在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $ABC$ 为边长等于 1 的正三角形，侧棱 $C{C}_1\perp$ 底面 $ABC$。 取底面边 $AB$ 的中点，记为 $D$，连接 $CD$ 与 $C_{1}D$。 因为 $△ABC$ 为正三角形， 故底面中线严格垂直于底边： $CD\perp AB,\text{且 }CD=AB\cdot \sin 60^{\circ }=1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为侧棱 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，且 $CD\perp AB$，根据三垂线定理，斜线在底面的射影垂直底边，则斜线本身必定垂直底边： $C_{1}D\perp AB$ 根据二面角平面角的几何定义， $\angle CD{C}_1$ 即为二面角 $C-AB-C_1$ 的平面角： $\angle CD{C}_1=60^{\circ }$

在直角 $△CD{C}_1$ 中（ $\angle C_{1}CD=90^{\circ }$）： 侧棱高 $C{C}_1$ 的长为： $C{C}_1=CD\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3}{2}$ 斜边（斜高） $C_{1}D$ 的长为： $C_{1}D=\frac{CD}{\cos 60^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

下面利用等体积转换法求解点 $C$ 到平面 $AB{C}_1$ 的几何距离 $d$。 构建以 $C,A,B,C_1$ 四个顶点构成的三棱锥，其满足： $V_{C-AB{C}_1}=V_{C_1-ABC}$

分别计算两个方向求体积所需的面积参数：

• 以 $△ABC$ 为底面时： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times CD=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 对应的高为侧棱长 $C{C}_1=\frac{3}{2}$。
• 以 $△AB{C}_1$ 为底面时： 由于 $C_{1}D\perp AB$，线段 $C_{1}D$ 恰好是等腰 $△AB{C}_1$ 底边 $AB$ 上的高。 $S_{△AB{C}_1}=\frac{1}{2}\times AB\times C_{1}D=\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应的高即为点 $C$ 到该平面的绝对距离 $d$。

将面积与对应高的数据代入体积等量平衡方程中（消去常数分母 $\frac{1}{3}$）： $S_{△AB{C}_1}\cdot d=S_{△ABC}\cdot C{C}_1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot d=\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{3}{2}$ 两边同时除以非零常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$： $d=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正三棱柱轴对称结构、三垂线定理作二面角平面角、三棱锥等体积转换法（ $V_{C-AB{C}_1}=V_{C_1-ABC}$）求高。
• 核心方法：等体积法、几何降维直角三角形运算法。
• 避坑指南：
• 求解点面距离时，直接在空间内作垂线极难确定垂足的确切位置。强烈建议无脑套用等体积转化法，将复杂的空间垂直问题转化为简单的两组平面面积计算，不仅极少出错，而且计算量最低。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中考查正多棱柱线面度量特征、点面距离换算最经典、最巧妙的有图填空题。 结论推广: 在侧棱垂直底面的任何锥体或柱体模型中， 点 $C$ 到与其相邻的倾斜截面的距离 $d$， 与其垂直截角内对应的投影边长严格遵循直角三角形面积恒等高公式，即满足 $d=CD\cdot \sin \angle CD{C}_1$。本题中直接口算： $d=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$。掌握此推广公式，两秒即可口算秒杀该大题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-14 填-点面距离等体积法
• 2008-大纲Ⅰ文-16 填-翻折点面距离