2006-天津卷理-10 单-二次函数闭区间单调性

本题导读

本题考查反函数、复合函数单调性及复合参数范围的确定。第一步通过关于 $y=x$ 对称确定 $f(x)$ 为对数函数；第二步通过换元将 $g(x)$ 转化为二次复合函数，利用内层与外层函数单调性的“同增异减”原理求出底数 $a$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 已知函数 $y=f(x)$ 的图像与函数 $y=a^x$ ($a>0$ 且 $a\ne 1$) 的图像关于直线 $y=x$ 对称，记 $g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]$. 若 $y=g(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},2\right]$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $[2,+\infty )$　　B. $(0,1)\cup (1,2)$　　C. $\left[\frac{1}{2},1\right)$　　D. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

求出反函数 $f(x)$：由关于 $y=x$ 对称可知， $f(x)$ 是指数函数 $y=a^x$ 的反函数，即 $f(x)={\log }_{a}x$。 代入化简 $g(x)$ 结构：计算常数项 $f(2)={\log }_{a}2$。代入得： $g(x)={\log }_{a}x\cdot [{\log }_{a}x+{\log }_{a}2-1]={\log }_{a}x\cdot \left[{\log }_{a}x+{\log }_a\frac{2}{a}\right]$ 换元降维分析单调性：令 $t=f(x)={\log }_{a}x$。原式变为关于 $t$ 的二次函数 $y=t\left(t+{\log }_a\frac{2}{a}\right)=t^2+\left({\log }_{a}2-1\right)t$。其对称轴为 $t_0=-\frac{{\log }_{a}2-1}{2}=\frac{1-{\log }_{a}2}{2}$。 分情况讨论底数 $a$：

• 当 $a>1$ 时，内层函数 $t={\log }_{a}x$ 在 $\left[\frac{1}{2},2\right]$ 上单调递增，自变量区间转化为 $t\in [{\log }_a\frac{1}{2},{\log }_{a}2]$。要使复合函数 $g(x)$ 单调递增，根据“同增异减”，外层二次函数在对应 $t$ 区间上必须也单调递增，即对称轴必须小于或等于内层区间的左端点。
• 当 $0<a<1$ 时，内层函数 $t={\log }_{a}x$ 单调递减，外层二次函数需单调递减，对应对称轴必须大于或等于内层区间的右端点。分别列出不等式求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $y=f(x)$ 的图像与指数函数 $y=a^x$ 关于直线 $y=x$ 对称， 根据反函数的定义， $f(x)$ 即为指数函数的反函数，即对数函数： $f(x)={\log }_{a}x$ 计算常数项： $f(2)={\log }_{a}2$。代入目标复合函数 $g(x)$ 的解析式中： $g(x)={\log }_{a}x\cdot ({\log }_{a}x+{\log }_{a}2-1)$

利用换元法，令 $t={\log }_{a}x$。原函数降维转化为关于 $t$ 的二次函数： $y=t^2+({\log }_{a}2-1)t$ 该二次函数抛物线开口向上，其对称轴方程为： $t_0=-\frac{{\log }_{a}2-1}{2\times 1}=\frac{1-{\log }_{a}2}{2}$

下面针对对数底数 $a$ 的取值范围分流讨论复合函数的单调性：

• 情况一：当 $a>1$ 时 内层函数 $t={\log }_{a}x$ 在区间 $x\in \left[\frac{1}{2},2\right]$ 上是严格的增函数。 此时，当 $x\in \left[\frac{1}{2},2\right]$ 时， 换元变量 $t$ 的取值范围为 $\left[{\log }_a\frac{1}{2},{\log }_{a}2\right]$，即 $[-{\log }_{a}2,{\log }_{a}2]$。 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，要使 $g(x)$ 整体表现为增函数，外层二次函数在 $t\in [-{\log }_{a}2,{\log }_{a}2]$ 上必须也表现为增函数。 因此， 二次函数的对称轴 $t_0$ 必须严格位于该闭区间左端点的左侧（或重合）： $t_0\le -{\log }_{a}2⟹\frac{1-{\log }_{a}2}{2}\le -{\log }_{a}2$ 两边同乘 2 展开移项化简： $1-{\log }_{a}2\le -2{\log }_{a}2⟹1\le -{\log }_{a}2⟹{\log }_{a}2\le -1$ 由于 $a>1⟹{\log }_{a}2>0$，而右边 $-1<0$，正数小于负数显然不成立，此时无解。

• 情况二：当 $0<a<1$ 时 内层函数 $t={\log }_{a}x$ 在区间 $x\in \left[\frac{1}{2},2\right]$ 上是严格的减函数。 此时，当 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 增大到 2 时， 对应的 $t$ 从 ${\log }_a\frac{1}{2}$ 减小到 ${\log }_{a}2$。 即变量 $t$ 的取值区间为 $\left[{\log }_{a}2,{\log }_a\frac{1}{2}\right]$，即 $[{\log }_{a}2,-{\log }_{a}2]$。 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，内层单调递减，要使整体 $g(x)$ 表现为增函数，外层二次函数在 $t\in [{\log }_{a}2,-{\log }_{a}2]$ 上必须表现为减函数。 因此， 二次函数的对称轴 $t_0$ 必须严格位于该闭区间右端点的右侧（或重合）： $t_0\ge -{\log }_{a}2⟹\frac{1-{\log }_{a}2}{2}\ge -{\log }_{a}2$ 两边同乘 2 展开移项化简： $1-{\log }_{a}2\ge -2{\log }_{a}2⟹1\ge -{\log }_{a}2⟹{\log }_{a}2\ge -1$ 由于此时 $0<a<1$，对数不等式方向发生翻转： $2\le a^{-1}⟹2\le \frac{1}{a}⟹a\le \frac{1}{2}$ 结合大前提条件 $0<a<1$，取交集得到底数的最终取值范围为： $0<a\le \frac{1}{2}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：互为反函数的对数与指数函数的转化、复合函数单调性“同增异减”判据、二次函数开口向上时单调减区间与对称轴的关系。
• 核心方法：换元轴向分析法、分类讨论法。
• 避坑指南：
• 当 $0<a<1$ 时，计算 ${\log }_{a}2\ge -1$ 去对数符号时，千万不要漏掉“底数小于 1 时，不等号方向必须强制翻转” 这一高危易错点（变成 $2\le a^{-1}$ 从而导出 $a\le \frac{1}{2}$）。
• 换元后区间端点的开闭及左右顺序在底数发生变化时也会颠倒，必须小心核对区间的左右界限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查反函数基本概念、复合函数性质融合度最高、最具区分度的全卷选择题压轴题（第10题位置）。 结论推广: 针对所有形如 $y=f(x{)}^2+k\cdot f(x)$ 的复合多项式闭区间单调性控制问题，其核心本质在于将内层增减区间无损映射至外层二次函数的对称轴单侧单调段内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-05 单-对数型反函数
• 2007-北京卷理-02 单-反函数定义域值域映射关系