2006-天津卷理-09 单-导函数图像的几何意义

本题导读

本题考查利用导函数图像判定原函数的极小值点。关键在于深刻理解极小值点的导数符号变化特征：导函数 $f^{\prime }(x)$ 的值必须由负变正。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 函数 $f(x)$ 的定义域为开区间 $(a,b)$，导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内的图像如图所示，则函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内有极小值点()

A. 1 个　　　　　B. 2 个　　　　　C. 3 个　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

明确极小值点的数学定义：若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，则在 $x_0$ 左侧附近 $f^{\prime }(x)<0$（函数递减），在 $x_0$ 右侧附近 $f^{\prime }(x)>0$（函数递增）。 转化为图像特征：在导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图像上， 极小值点对应于曲线从 $x$ 轴下方穿向 $x$ 轴上方的交点（即导数符号“由负变正”的变号零点）。 计数交点：依次从左到右检查图像与 $x$ 轴的所有交点及切点，筛选出符合“由负变正”的临界点个数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：根据可导函数极小值点的判定充要条件：若 $f^{\prime }(x_0)=0$，且在 $x_0$ 两侧满足左侧 $f^{\prime }(x)<0$、右侧 $f^{\prime }(x)>0$，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点。 反映在导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图像上， 该点表现为曲线与 $x$ 轴的交点，并且曲线从左向右穿越 $x$ 轴时，必须是由下往上穿。

观察给出的 $y=f^{\prime }(x)$ 的图像，从左到右依次排查：

• 第 1 个交点（在 $a$ 右侧不远处）：曲线由上往下穿过 $x$ 轴，导数符号由正变负，该点为极大值点。
• 第 2 个交点：曲线由下往上穿过 $x$ 轴，导数符号由负变正，满足条件，该点为极小值点。
• 第 3 个点（原点 $O$ 处）：曲线与 $x$ 轴相切且处于 $x$ 轴上方，两侧导数符号均为正，该点不是极值点。
• 第 4 个交点（在 $b$ 左侧不远处）：曲线由上往下穿过 $x$ 轴，导数符号由正变负，该点为极大值点。

综上所述，满足从下往上穿过 $x$ 轴（导数由负变正）的交点有且仅有 1 个。 因此， 函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内有 1 个极小值点。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极值点两侧导数的符号特征、导函数图像中零点类型的判定。
• 核心方法：图像符号变号判别法。
• 避坑指南：
• 极易受视觉误导把 $f^{\prime }(x)$ 图像本身的“波谷顶点”或者切点 $O$ 误算进去。牢记原函数的极值点看的是 $f^{\prime }(x)$ 的正负号（是否穿过 $x$ 轴），而不是看 $f^{\prime }(x)$ 图像自身的单调性或极值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高二微积分初步中，考查形数结合判定函数极值最经典、最基础的图形定性选择题。 结论推广: 针对任意可导函数图像特征：① $f^{\prime }(x)$ 由正变负的穿轴零点为极大值点；② $f^{\prime }(x)$ 由负变正的穿轴零点为极小值点；③ $f^{\prime }(x)$ 不变号的切轴零点或孤立零点非极值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-08 单-函数极值导数零点关系
• 2008-广东文-09 单-导数极值点定参
• 2012-陕西卷(理)-07 单-导数的极值