2006-天津卷理-08 单-图像的对称中心与对称轴

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。根据 $f(x)$ 在特定点取得最小值确定 $a,b$ 的关系，再用诱导公式化简新函数 $y=f\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$，判断其奇偶性与对称中心。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=a\sin x-b\cos x$ （ $a、b$ 为常数， $a\ne 0,x\in \mathbf{R}$）在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处取得最小值，则函数 $y=f\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$ 是()

A. 偶函数且它的图像关于点 $(\pi ,0)$ 对称

B. 偶函数且它的图像关于点 $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$ 对称

C. 奇函数且它的图像关于点 $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$ 对称

D. 奇函数且它的图像关于点 $(\pi ,0)$ 对称

🔍【思路分析】

破题导航

由已知条件求系数关系：对 $f(x)=a\sin x-b\cos x$ 运用辅助角公式化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (x-\varphi )$，其中 $\tan \varphi =\frac{b}{a}$。因为在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处取得最小值，此时正弦部分达到 $-1$，即 $\frac{\pi }{4}-\varphi =2k\pi -\frac{\pi }{2}$。由此确定 $\varphi$，进而得出 $a$ 与 $b$ 的关系。 写出 $f(x)$ 的简化形式：利用求得的 $\varphi$ 固定函数形式，消除参数。 求复合新函数解析式：将 $\frac{3\pi }{4}-x$ 作为整体代入 $f(x)$，用诱导公式化简。 判定性质：根据化简后的解析式判定奇偶性，并利用正弦曲线的对称中心公式验证选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：对于函数 $f(x)=a\sin x-b\cos x$，运用辅助角公式进行合并： $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x-\varphi )$ 其中辅助角满足： $\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}⟹\tan \varphi =\frac{b}{a}$。

因为 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处取得最小值， 由正弦函数取得最小值时相位满足的条件： $\frac{\pi }{4}-\varphi =-\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 取 $k=0$，解得辅助角为： $\varphi =\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}$ 将 $\varphi =\frac{3\pi }{4}$ 代回 $\tan \varphi$ 的表达式中： $\tan \frac{3\pi }{4}=-1⟹\frac{b}{a}=-1⟹b=-a$ 同时由于 $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，而 $\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，故 $a<0$。 此时函数 $f(x)$ 的解析式可以表达为： $f(x)=\sqrt{a^2+(-a{)}^2}\sin \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{2}|a|\sin \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$ 因为 $a<0⟹|a|=-a$，故： $f(x)=-\sqrt{2}a\sin \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$

接下来求新函数 $y=f\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$ 的解析式，将 $\frac{3\pi }{4}-x$ 替换 $f(x)$ 中的自变量 $x$： $y=-\sqrt{2}a\sin \left[\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)-\frac{3\pi }{4}\right]=-\sqrt{2}a\sin (-x)$ 利用正弦函数的奇函数性质 $\sin (-x)=-\sin x$： $y=\sqrt{2}a\sin x$

下面对新函数 $y=\sqrt{2}a\sin x$ 的性质进行判定：

• 奇偶性判定：因为 $y(-x)=\sqrt{2}a\sin (-x)=-\sqrt{2}a\sin x=-y(x)$，所以该函数是奇函数。由此排除 A 和 B。
• 对称中心判定： 正弦曲线 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k\pi ,0)$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

• 当 $k=1$ 时， $(\pi ,0)$ 是其一个对称中心；
• 选项中的 $\frac{3\pi }{2}$ 不是 $\pi$ 的整数倍（此时 $\sin \frac{3\pi }{2}=-1\ne 0$，对应的是极值点，是对称轴而非对称中心）。 所以，该图像关于点 $(\pi ,0)$ 对称，关于点 $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$ 不对称。

综上所述，该函数是奇函数且它的图像关于点 $(\pi ,0)$ 对称。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：辅助角公式中正负号的确定、函数取得最值时相位的取值、诱导公式化简、正弦函数的奇偶性与对称中心。
• 核心方法：整体相位分析法、消元法。
• 避坑指南：
• 确定 $b=-a$ 后，不要漏掉对 $a$ 的正负判断。本题在 $\frac{3\pi }{4}$ 处余弦值为负，故 $a<0$。若不判断 $a$ 的正负，直接写成正的 $\sqrt{2}a$，最后符号会颠倒。
• 正弦曲线的零点对应对称中心，极值点对应对称轴。 $\frac{3\pi }{2}$ 处正弦值达到最值，对应的是对称轴，排除 B 和 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合考查三角函数的图象变换与性质。 结论推广: 对形如 $f(x)=A\sin (x-\varphi )$ 且在 $x=x_0$ 处取得最值的函数，其复合函数 $f(2x_0-x)$ 有确定的奇偶性，本题通过诱导公式化简后为奇函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-01 单-函数图象对称性
• 2007-江苏卷-06 单-函数对称性比大小
• 2007-福建文-05 单-正弦型对称性