2006-天津卷理-07 单-综合

本题导读

本题考查等差数列的通项性质及前 $n$ 项和的计算。核心在于利用两个数列的通项公式写出复合项 $C_n=a_{b_n}$ 的解析式，利用已知条件化简并求和。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}、\{b_n\}$ 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 $a_1、b_1$，且 $a_1+b_1=5,a_1,b_1\in {\mathbf{N}}^{\ast }$. 设 $C_n=a_{b_n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，则数列表 $\{C_n\}$ 的前 10 项和等于()

A. 55　　　　　　B. 70　　　　　　C. 85　　　　　　D. 100

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项表达式：由于 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的公差均为 1，其通项公式分别为 $a_n=a_1+(n-1)\times 1=a_1+n-1$， $b_n=b_1+(n-1)\times 1=b_1+n-1$。

复合通项 $C_n$：根据定义， $C_n=a_{b_n}$。这意味着我们需要将 $a_n$ 通项公式中的自变量 $n$ 替换为整个 $b_n$ 的表达式，即 $C_n=a_1+b_n-1$。

带入化简与求和：将 $b_n$ 的表达式代入后，利用 $a_1+b_1=5$ 的整体关系消除未知数，求出 $C_n$ 关于 $n$ 的一次函数关系式（说明 $\{C_n\}$ 也是等差数列），再利用等差数列求和公式计算前 10 项和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是公差为 1 的等差数列，首项分别为 $a_1,b_1$。

根据等差数列的通项公式可得：

$a_n=a_1+(n-1)\times 1=a_1+n-1$

$b_n=b_1+(n-1)\times 1=b_1+n-1$

根据题意，新数列 $\{C_n\}$ 的通项满足复合关系 $C_n=a_{b_n}$。

将 $b_n$ 的代数式整体作为自变量下标代入 $a_n$ 的公式中：

$C_n=a_1+b_n-1$

进一步将 $b_n=b_1+n-1$ 代入：

$C_n=a_1+(b_1+n-1)-1=(a_1+b_1)+n-2$

已知条件给定首项数量关系 $a_1+b_1=5$，直接整体代入上式化简：

$C_n=5+n-2=n+3$

由此可知， 数列 $\{C_n\}$ 是一个首项为 $C_1=1+3=4$，公差为 1 的等差数列。

计算其前 10 项和，直接套用等差数列求和公式：

$S_{10}=\frac{10\times (C_1+C_{10})}{2}$

其中末项 $C_{10}=10+3=13$，代入得：

$S_{10}=\frac{10\times (4+13)}{2}=5\times 17=85$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列通项的符号级复合、整体代入消元法、等差数列求和公式。
• 核心方法：整体代换法、特值法（由于 $C_n$ 的结果与 $a_1,b_1$ 的具体分值无关，只要满足 $a_1+b_1=5$ 即可。在考场上可直接令 $a_1=2,b_1=3$ 从而直接写出具体数列快速求解）。
• 避坑指南：
• 处理复合项 $a_{b_n}$ 时，一定要把整个 $b_n$ 作为一个整体下标去替换 $a_n=a_1+(n-1)$ 中的 $n$。避免习惯性错写成 $a_n\cdot b_n$ 或产生其他变形手误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题由等差数列的通项性质及线性组合规律拓展而来，考查对数列符号语言的深层理解。

结论推广: 若等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的公差分别为 $d_1,d_2$，则复合数列 $C_n=a_{b_n}$ 必然仍为等差数列，且其复合后的新公差满足 $d_C=d_1\cdot d_2$。本题中 $d_1=1,d_2=1⟹d_C=1\times 1=1$，完美契合该高观点推广结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-10 单-等差数列求公式
• 2007-辽宁卷理-04 单-等差数列片段等差性质
• 2008-北京卷理-06 单-等差数列