2006-天津卷理-05 单-分类加法原理

本题导读

本题考查排列组合的应用。核心在于根据盒子编号对小球的个数限制，将放球方案划分为互斥的几种组合构型，再利用组合数公式分别计数并累加。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小该盒子的编号，则不同的放球方法有()

A. 10 种　　　　　B. 20 种　　　　　C. 36 种　　　　　D. 52 种

🔍【思路分析】

破题导航

解析限制条件：设 1 号盒子放 $x$ 个球，2 号盒子放 $y$ 个球。由题意， $x\ge 1$ 且 $y\ge 2$。同时 4 个球必须全部放完，满足 $x+y=4$。 分类列出解构型：在正整数范围内寻找方程组的解，只有两类可能：

• 第一类： $x=1,y=3$（ 1 号盒放 1 个，2 号盒放 3 个）；
• 第二类： $x=2,y=2$（ 1 号盒放 2 个，2 号盒放 2 个）。 计算各组排列数并求和：由于球是“互不相同”的（有差异元素），利用组合数公式 ${\text{C}}_n^m$ 分别计算两种情况的方案数，最后应用加法原理相加。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：设 1 号盒子放入 $x$ 个球，2 号盒子放入 $y$ 个球。 根据题目对小球总数和各盒底线的限制，建立数学方程与不等式组： $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x\ge 1\\ y\ge 2\end{array}(x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast })$

由于 $x,y$ 均为正整数，该方程组只有以下两组孤立解，对应两种互斥的放球模型：

• 情况一： 1 号盒子放 1 个球，2 号盒子放 3 个球（即 $x=1,y=3$） 从 4 个颜色不同的球中任选 1 个放入 1 号盒子，剩下的 3 个球自动全放进 2 号盒子。 方案数为： $N_1={\text{C}}_4^1=4\text{ 种}$

• 情况二： 1 号盒子放 2 个球，2 号盒子放 2 个球（即 $x=2,y=2$） 从 4 个颜色不同的球中任选 2 个放入 1 号盒子，剩下的 2 个球全放进 2 号盒子。 方案数为： $N_2={\text{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\text{ 种}$

根据分类加法计数原理， 满足条件的所有不同放球方法总数为： $N=N_1+N_2=4+6=10\text{ 种}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有限制条件的分配问题、有差异元素的组合选择、分类加法原理。
• 核心方法：数字拆分分类法。
• 避坑指南：
• 必须注意盒子是带有编号 1 和 2 的（盒子有差异），且小球也是颜色互不相同的（球有差异）。本题直接通过选球入盒即可天然完成定位，无需额外乘以盒子的全排列。
• 审题时看清“不小于”包含等于，不要漏掉 $y=2$ 的均分构型。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是由经典的“把 $n$ 个不同元素投入 $m$ 个不同相容抽屉”的有限制组合计数模型改编而来。 结论推广: 针对任何将 $n$ 个异质元素分配到两个有标签抽屉且分别有下限 $M,N$ （满足 $M+N\le n$）的问题，其不同分配种数的数学通式恒为： ${\sum }_{k=M}^{n-N}{\text{C}}_n^k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-10 单-排列组合综合应用
• 2008-天津卷理-10 单-排列组合
• 2008-大纲卷I理-12 单-排列组合