2006-天津卷理-04 单-集合的包含关系

本题导读

本题考查充要条件的判定。将逻辑条件转化为集合的包含关系，通过比对两集合范围的大小关系确定因果方向。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 设集合 $M=\{x\mid 0<x\le 3\}$， $N=\{x\mid 0<x\le 2\}$，那么“$a\in M$”是“$a\in N$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

判定集合包含关系：比较集合 $M$ 和 $N$ 的范围。因为 $(0,2](0,3]$，所以 $NM$。 转换逻辑关系：根据“小范围推出大范围”的原则， $a\in N⟹a\in M$，但 $a\in M$ 推不出 $a\in N$。由此判断“$a\in M$”作为条件和结论时的逻辑属性。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意知，集合 $M=(0,3]$，集合 $N=(0,2]$。 显然，集合 $N$ 的所有元素都在集合 $M$ 中，即 $NM$。

• 检验充分性（ $a\in M⟹a\in N$）： 若 $a\in M$，例如取 $a=2.5$，此时 $2.5\in M$，但 $2.5\notin N$。 所以由“$a\in M$”推不出“$a\in N$”，充分性不成立。
• 检验必要性（ $a\in N⟹a\in M$）： 若 $a\in N$，由于 $N$ 是 $M$ 的真子集，则必有 $a\in M$ 成立。 所以由“$a\in N$”能推出“$a\in M$”，必要性成立。

综上所述，“$a\in M$”是“$a\in N$”的必要而不充分条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充要条件的方向性判定、集合包含关系。
• 核心方法：子集判定法、特值反例法。
• 避坑指南：
• 注意主客体。题目问的是“‘$a\in M$’是‘$a\in N$’的什么条件”。因为 $N\subset M$，所以 $a\in N⟹a\in M$，故“$a\in M$”是“$a\in N$”的必要不充分条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查集合包含关系与充要条件。 结论推广: 设命题 $p:x\in A$， $q:x\in B$。若 $BA$，则 $p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件； $q$ 是 $p$ 的充分而不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-03 单-充要条件判定
• 2007-湖北文-09 单-充要条件与不等式
• 2007-辽宁卷理-10 单-充要条件必要条件判定