2006-天津文-21 解-数列递推放缩

本题导读

本题考查数列递推与等比数列、放缩法。核心在于比值换元化等比数列，放缩求和。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=x_2=1$，并且 $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda \frac{x_n}{x_{n-1}}$（$\lambda$ 为非零参数，$n=2,3,4,\cdots$）。 （1）若 $x_1$，$x_3$，$x_5$ 成等比数列，求参数 $\lambda$ 的值； （2）设 $0<\lambda <1$，常数 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $k⩾3$，证明：$\frac{x_{1+k}}{x_1}+\frac{x_{2+k}}{x_2}+\cdots +\frac{x_{n+k}}{x_n}<\frac{{\lambda }^k}{1-{\lambda }^k}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $r_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}$，则 $r_n=\lambda r_{n-1}$，故 $r_n={\lambda }^{n-1}$，$x_n={\lambda }^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}$。
2. (1) $x_3=\lambda$，$x_5={\lambda }^6$，成等比得 ${\lambda }^2={\lambda }^6$，$\lambda =\pm 1$。
3. (2) $\frac{x_{j+k}}{x_j}={\lambda }^{kj+\frac{k(k-3)}{2}}$，放缩求和。

✅【答案】

Success

(1)$\lambda =1$ 或 $\lambda =-1$

(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $x_1=x_2=1\ne 0$ 且 $\lambda \ne 0$，各 $x_n\ne 0$。令 $r_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}$，则 $r_1=1$，且对 $n⩾2$，$r_n=\lambda r_{n-1}$。 故 $r_n={\lambda }^{n-1}$，从而 $x_n=x_1{r}_1{r}_2\cdots r_{n-1}={\lambda }^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}$。

（1）$x_1=1$，$x_3=\lambda$，$x_5={\lambda }^6$。三项成等比当且仅当 $x_3^2=x_1{x}_5$，即 ${\lambda }^2={\lambda }^6\Rightarrow {\lambda }^4=1$。因 $\lambda$ 为非零实数，$\lambda =1$ 或 $\lambda =-1$。

（2）对任意 $j\in {\mathbf{N}}^{\ast }$， $\frac{x_{j+k}}{x_j}={\lambda }^{\frac{(j+k-1)(j+k-2)-(j-1)(j-2)}{2}}={\lambda }^{kj+\frac{k(k-3)}{2}}$。 故 ${\sum }_{j=1}^n\frac{x_{j+k}}{x_j}={\sum }_{j=1}^n{\lambda }^{kj+\frac{k(k-3)}{2}}={\lambda }^{\frac{k(k-1)}{2}}(1+{\lambda }^k+{\lambda }^{2k}+\cdots +{\lambda }^{(n-1)k})$。 因 $0<\lambda <1$ 且 $k⩾3$，有 $\frac{k(k-1)}{2}⩾k$，故 ${\lambda }^{\frac{k(k-1)}{2}}⩽{\lambda }^k$，且 $0<1-{\lambda }^{kn}<1$。 ${\sum }_{j=1}^n\frac{x_{j+k}}{x_j}⩽{\lambda }^k\frac{1-{\lambda }^{kn}}{1-{\lambda }^k}<\frac{{\lambda }^k}{1-{\lambda }^k}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推放缩

核心方法：比值换元化等比，放缩求和

避坑指南：令 $r_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}$ 得 $r_n={\lambda }^{n-1}$；$\frac{k(k-1)}{2}⩾k$（$k⩾3$）是放缩关键，$0<\lambda <1$ 保证 $1-{\lambda }^{kn}<1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 数列递推、等比与放缩是数列压轴的典型结构。

结论推广: 比值递推 $$\begin{gathered} dfrac{x}_{n+1}{x}_n= \\ lambda \\ dfrac{x}_n{x}_{n-1} \end{gathered}$$ 令 $r_n$ 化等比，$$\begin{gathered} x_n= \\ lambd{a}^{ \\ frac(n-1)(n-2)2} \end{gathered}$$。

方法推广: 放缩时用 $$\begin{gathered} dfrack(k-1)2 \\ geqslantk \end{gathered}$$ 与 $$\begin{gathered} 0<1- \\ lambd{a}^{kn}<1 \end{gathered}$$ 两步夹出上界，是核心技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩
• 2011-天津卷文-20 解-奇偶递推数列与放缩
• 2009-重庆卷文-21 解-递推数列放缩