2006-天津文-19 解-线面平行垂直证明

本题导读

本题考查线面平行与线面垂直的证明。核心在于向量法证线面平行，找相交直线证线面垂直。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 如图，在五面体 $ABCDEF$ 中，点 $O$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线的交点，面 $CDE$ 是等边三角形，棱 $EF\parallel BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$。 （1）证明：$FO\parallel$ 平面 $CDE$； （2）设 $BC=\sqrt{3}CD$，证明：$EO\perp$ 平面 $CDF$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$，$\vec{v}=\overrightarrow{AD}$，$\vec{w}=\overrightarrow{DE}$，用基底表示 $\overrightarrow{OF}$，证其在平面 $CDE$ 内方向。
2. 证 $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{DC}=0$、$\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{DF}=0$，由两相交直线证线面垂直。

✅【答案】

Success

(1)

(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$，$\vec{v}=\overrightarrow{AD}$。因 $ABCD$ 是矩形，$\overrightarrow{BC}=\vec{v}$，$\overrightarrow{CD}=-\vec{u}$，且 $\vec{u}\perp \vec{v}$。设 $\vec{w}=\overrightarrow{DE}$。

（1）由 $EF\parallel BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$，$\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}\vec{v}$。$O$ 是矩形对角线交点，$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})$。 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\vec{v}+\vec{w}-\frac{1}{2}\vec{v}=\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}$。 令 $\vec{h}=\vec{w}-\frac{1}{2}\vec{u}$，由等边三角形 $CDE$ 有 $\vec{w}\cdot \vec{u}=\frac{1}{2}|\vec{u}{|}^2$，可证 $\vec{h}\perp \vec{u}$。 $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AO}=\left(\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}\right)-\frac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}-\frac{1}{2}\vec{u}=\vec{h}$。 又 $\vec{h}=\vec{w}-\frac{1}{2}\vec{u}=\overrightarrow{DE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，落在平面 $CDE$ 的方向上，且 $O\notin$ 平面 $CDE$，故 $FO\parallel$ 平面 $CDE$。

（2）$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{h}$，$\overrightarrow{DC}=\vec{u}$，$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{h}$。 $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{DC}=\left(\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{h}\right)\cdot \vec{u}=\vec{h}\cdot \vec{u}=0$。 当 $BC=\sqrt{3}CD$ 即 $|\vec{v}|=\sqrt{3}|\vec{u}|$ 时，$|\vec{h}{|}^2=\frac{3}{4}|\vec{u}{|}^2$， $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{DF}=\left(\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{h}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{h}\right)=|\vec{h}{|}^2-\frac{1}{4}|\vec{v}{|}^2=\frac{3}{4}|\vec{u}{|}^2-\frac{3}{4}|\vec{u}{|}^2=0$。 故 $OE$ 垂直于平面 $CDF$ 内两条相交直线 $DC$、$DF$，从而 $EO\perp$ 平面 $CDF$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行垂直证明

核心方法：选基底表示向量，证线面平行与线面垂直

避坑指南：选 $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ 为基底；(2) 需证 $OE$ 垂直平面内两条相交直线 $DC$、$DF$，缺一不可

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线面平行与线面垂直证明是立体几何解答题经典骨架。

结论推广: 证线面平行：证直线方向向量在平面内方向且直线不过平面；证线面垂直：证直线垂直平面内两条相交直线。

方法推广: 选矩形两邻边为基底，向量化表示后点积验证，几何关系转化为代数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直
• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直