2006-天津文-16 填-排列相邻计数

本题导读

本题考查排列与组合的计数。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 用数字 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$ 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 $1$，$2$ 相邻的偶数有____个。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶数即个位为 $0,2,4$；$1,2$ 相邻视作一个整体。
2. 按个位分 $0/2/4$ 三类，捆绑 $1,2$ 后排列，注意首位不能为 0。
3. 分类计数求和得 $24$。

✅【答案】

Success

$24$

✍【详细解析】

Abstract

把 $1,2$ 相邻看成整体，分情况讨论个位（偶数位）：

（一）个位为 $0$：其余四位是 $\{1,2,3,4\}$，$1,2$ 捆绑为 $A_2^2$ 内部排，与 $3,4$ 共 3 个”元素”全排 $A_3^3$，共 $A_2^2{A}_3^3=2\times 6=12$。

（二）个位为 $2$：$2$ 已在个位，$1$ 与之相邻必在十位，剩余 $0,3,4$ 排万、千、百位，且万位不能为 0。$1$ 固定十位后，$\{0,3,4\}$ 排三个位置共 $3!$ 种，其中 $0$ 在万位的有 $2!$ 种，故 $3!-2!=6-2=4$。

（三）个位为 $4$：$1,2$ 捆绑内部 $A_2^2$，与 $0,3$ 共 3 个”元素”排万、千、百位，万位不能为 0。3 元素全排 $3!$ 中 0 在首位有 $2!$，故 $(3!-2!)\times A_2^2=(6-2)\times 2=8$。

总计 $12+4+8=24$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列相邻计数

核心方法：捆绑法处理相邻，按个位奇偶分类讨论

避坑指南：个位为 $2$ 时 $1$ 与之相邻固定十位，剩余含 0 要排除首位为 0 的情况；分三类计数求和，别漏 $0$ 不能放首位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 排列计数中的相邻与奇偶问题是计数模块的中档题。

结论推广: 相邻问题用捆绑法；首位不能为 0 是数字排列的硬约束。

方法推广: 按个位分 $0/2/4$ 三类讨论，每类内部再处理首位约束，分类求和避免重复遗漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-17 填-奇偶相邻排列
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2014-北京卷理-13 填-相邻与不相邻问题