2006-天津文-12 填-向量夹角余弦

本题导读

本题考查平面向量的夹角。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，且 $\vec{a}=(3,3)$，$2\vec{b}-\vec{a}=(-1,1)$，则 $\cos \theta =$____。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2\vec{b}=\vec{a}+(-1,1)=(3,3)+(-1,1)=(2,4)$，故 $\vec{b}=(1,2)$。
2. $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3\times 1+3\times 2}{\sqrt{18}\times \sqrt{5}}=\frac{9}{3\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $2\vec{b}-\vec{a}=(-1,1)$ 得 $2\vec{b}=\vec{a}+(-1,1)=(3,3)+(-1,1)=(2,4)$，故 $\vec{b}=(1,2)$。 $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times 1+3\times 2=9$，$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{9}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量夹角余弦

核心方法：由向量关系解出 $\vec{b}$，再用数量积求夹角余弦

避坑指南：先由 $2\vec{b}-\vec{a}$ 解出 $\vec{b}$ 的具体坐标，再套夹角公式；$|\vec{a}|=3\sqrt{2}$ 不是 $3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 平面向量夹角是向量模块高频题。

结论推广: $$\begin{gathered} cos \\ theta= \\ dfrac \\ veca \\ cdot \\ vecb| \\ veca|| \\ vecb| \end{gathered}$$，先由向量等式解出 $vecb$。

方法推广: 数量积、模长分别算清再代入，$$\begin{gathered} | \\ veca|=3 \\ sqrt2 \end{gathered}$$ 别误算成 $3$ 或 $6$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角
• 2010-新课标Ⅰ文-02 单-向量夹角余弦
• 2014-山东卷文-07 单-向量夹角