2006-天津文-09 单-三角图象对称奇偶

本题导读

本题考查三角函数的图象对称性与奇偶性。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=a\sin x-b\cos x$（$a$，$b$ 为常数，$a\ne 0$，$x\in \mathbf{R}$）的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称，则函数 $y=f\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$ 是()

A. 偶函数且它的图象关于点 $(\pi ,0)$ 对称

B. 偶函数且它的图象关于点 $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$ 对称

C. 奇函数且它的图象关于点 $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$ 对称

D. 奇函数且它的图象关于点 $(\pi ,0)$ 对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=a\sin x-b\cos x=A\sin (x-\phi )$，关于 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称。
2. 对称轴条件给 $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ 与 $f(x)$ 关系，可推 $a=-b$。
3. 由 $a=-b$ 得 $f(x)=a\sin x+a\cos x=\sqrt{2}a\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，为奇函数。
4. $y=f\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)$ 化简判断奇偶与对称中心。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=a\sin x-b\cos x$ 的图象关于 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称，等价于 $f\left(\frac{\pi }{4}+t\right)=f\left(\frac{\pi }{4}-t\right)$ 对任意 $t$ 成立。 令 $t=\frac{\pi }{4}$：$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f(0)$，即 $a=-b$。 故 $f(x)=a\sin x+a\cos x=\sqrt{2}a\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。 $y=f\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)=\sqrt{2}a\sin \left(\pi -x\right)=\sqrt{2}a\sin x$。 因 $\sin x$ 是奇函数，故 $y$ 为奇函数；$\sqrt{2}a\sin x$ 的对称中心为 $(k\pi ,0)$，选项中仅 $(\pi ,0)$ 符合，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角图象对称奇偶

核心方法：由对称轴条件定参数关系，再判断平移后奇偶与对称中心

避坑指南：对称轴 $x=\frac{\pi }{4}$ 给 $a=-b$；化简后 $y=\sqrt{2}a\sin x$ 是奇函数，对称中心 $(k\pi ,0)$，别把 $\frac{3\pi }{2}$ 当对称中心

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角函数的对称性与奇偶性是天津卷特色小题。

结论推广: $f(x)$ 关于 $x=x_0$ 对称 $ifff(x_0+t)=f(x_0-t)$；$$\begin{gathered} a \\ sinx-b \\ cosx \end{gathered}$$ 关于 $$\begin{gathered} dfrac \\ pi4 \end{gathered}$$ 对称给 $a=-b$。

方法推广: 化简到 $$\begin{gathered} sqrt2a \\ sinx \end{gathered}$$ 后奇偶、对称中心一目了然，比逐项验证选项更快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-04 单-奇函数图象对称
• 2009-天津文-07 单-三角图象平移对称
• 2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称