2006-天津文-06 单-反函数求解析式

本题导读

本题考查反函数。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 函数 $y=\sqrt{x^2+1}+1$（$x<0$）的反函数是()

A. $y=\sqrt{x^2-2x}$（$x<0$）　　　　　　　　　　　　B. $y=-\sqrt{x^2-2x}$（$x<0$）

C. $y=\sqrt{x^2-2x}$（$x>2$）　　　　　　　　　　　　D. $y=-\sqrt{x^2-2x}$（$x>2$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=\sqrt{x^2+1}+1$ 得 $y-1=\sqrt{x^2+1}$，平方得 $x^2=(y-1{)}^2-1=y^2-2y$。
2. 因 $x<0$，故 $x=-\sqrt{y^2-2y}$；又 $x<0$ 时 $y>2$。
3. 交换 $x,y$ 得反函数 $y=-\sqrt{x^2-2x}$（$x>2$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\sqrt{x^2+1}+1$（$x<0$）得 $y>2$，且 $y-1=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow (y-1{)}^2=x^2+1\Rightarrow x^2=y^2-2y$。 因 $x<0$，故 $x=-\sqrt{y^2-2y}$。 交换 $x$ 与 $y$，得反函数 $y=-\sqrt{x^2-2x}$，其定义域为原函数的值域 $x>2$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数求解析式

核心方法：交换 $x$、$y$ 反解，注意原函数值域即反函数定义域

避坑指南：反函数定义域是原函数值域：$x<0$ 时 $y>2$，故反函数定义域 $x>2$ 而非 $x<0$；开平方取负号因 $x<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 反函数求解析式是函数模块基础题，天津卷多年考查。

结论推广: $y=f(x)$ 的反函数通过交换 $x,y$ 后反解得到，反函数定义域=原函数值域。

方法推广: 反解时注意 $x$ 的符号约束（本题 $x<0$ 决定开方取负），定义域由值域确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-05 单-受限反函数
• 2008-天津文-03 单-根式函数反函数
• 2009-上海卷文-01 填-反函数