2006-天津文-05 单-充要条件判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 设 $\alpha$，$\beta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，那么“$\alpha <\beta$”是“$\tan \alpha <\tan \beta$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增。
2. 故 $\alpha <\beta ⟺\tan \alpha <\tan \beta$ 两方向都成立，是充要条件。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=\tan x$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上严格单调递增。 因此对 $\alpha ,\beta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，$\alpha <\beta ⟺\tan \alpha <\tan \beta$。 “$\alpha <\beta$”既是“$\tan \alpha <\tan \beta$”的充分条件又是必要条件，故为充要条件，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件判定

核心方法：利用 $\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增判断充要

避坑指南：充要判断要两方向都验证；本题在给定区间内 $\tan$ 严格单调是”两方向都成立”的关键，离开该区间结论不再成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 充要条件判定常以单调函数为载体，是逻辑模块的代表题。

结论推广: 若函数 $f$ 在区间上严格单调，则 $x_1<x_2⟺f(x_1)<f(x_2)$，充要成立。

方法推广: 把"$\alpha <\beta$"与"$\tan \alpha <\tan \beta$"通过 $\tan$ 的单调性等价连接，两方向一次搞定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

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• 2009-天津文-03 单-充要条件判定
• 2009-北京文-06 单-充要条件判定