2006-天津文-03 单-线性规划最值

本题导读

本题考查简单的线性规划。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y⩽x,\\ x+y⩾2,\\ y⩾3x-6,\end{array}$ 则目标函数 $z=2x+y$ 的最小值为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三条边界两两相交求顶点：$y=x$ 与 $x+y=2$ 交 $(1,1)$；$y=x$ 与 $y=3x-6$ 交 $(3,3)$；$x+y=2$ 与 $y=3x-6$ 交 $(2,0)$。
2. $z=2x+y$ 在顶点取值 $3$、$9$、$4$，最小 $3$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

可行域是三条直线 $y=x$、$x+y=2$、$y=3x-6$ 围成的三角形区域。 三个顶点：$(1,1)$、$(3,3)$、$(2,0)$。 目标函数 $z=2x+y$ 在顶点处分别取值 $z(1,1)=3$，$z(3,3)=9$，$z(2,0)=4$，故最小值为 $3$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值

核心方法：画可行域，逐顶点代入目标函数

避坑指南：目标函数 $z=2x+y$ 系数不同，最优顶点不能凭”靠近原点”直觉判断，必须三个顶点都代入比较

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线性规划是文数高频小题，天津卷多年连续考查。

结论推广: 线性目标函数在可行域（凸多边形）的顶点处取得最值。

方法推广: 三条边界两两求交得顶点，逐点代入目标函数比较，是最稳妥的通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2009-天津文-02 单-线性规划
• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值