2006-四川卷理-21 解-向量的坐标运算与点到直线距离

本题导读

本题是一道解析几何与平面向量交汇的压轴大题。核心在于通过绝对值定义判定曲线为双曲线的双支全貌，联立直线利用弦长公式确定斜率，最后通过向量线性关系坐标化，结合曲线方程进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知两定点 $F_1(-\sqrt{2},0),F_2(\sqrt{2},0)$，满足条件 $\left||\overrightarrow{P{F}_2}|-|\overrightarrow{P{F}_1}|\right|=2$ 的点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$，直线 $y=kx-1$ 与曲线 $E$ 交于 $A、B$ 两点. 如果 $|\overrightarrow{AB}|=6\sqrt{3}$，且曲线 $E$ 上存在点 $C$，使 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$，求 $m$ 的值和 $△ABC$ 的面积 $S$.

🔍【思路分析】

破题导航

确立标准方程：由 $\left||\overrightarrow{P{F}_2}|-|\overrightarrow{P{F}_1}|\right|=2$，动点到两定点距离之差的绝对值为常数 $2a=2$，故曲线 $E$ 为完整的双曲线全支。 联立求斜率：将 $y=kx-1$ 与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=6\sqrt{3}$，解得 $k^2$ 的值。 坐标化求 $m$：由向量关系得到点 $C$ 坐标关于 $m$ 和 $k$ 的表达式，代入双曲线方程求出 $m=\pm 4$。 计算面积：分 $m=4$ 与 $m=-4$ 两种情况，分别利用点到直线距离公式求出高 $d$，进而得到 $△ABC$ 的面积 $S$。

✅【答案】

Success

$m=4，S=\surd 3.$

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意， 动点 $P$ 满足 $\left||P{F}_2|-|P{F}_1|\right|=2$。 根据双曲线的定义， 轨迹 $E$ 是以 $F_1,F_2$ 为焦点的完整双曲线。 其中 $2a=2⟹a=1$，半焦距 $c=\sqrt{2}⟹c^2=2$。 则 $b^2=c^2-a^2=2-1=1$。 故曲线 $E$ 的标准方程为： $x^2-y^2=1$

将直线方程 $y=kx-1$ 代入双曲线方程 $x^2-y^2=1$ 中，整理得： $(1-k^2)x^2+2kx-2=0$ 由于直线与双曲线交于两个不同的点 $A,B$，则满足： $\{\begin{array}{l}1-k^2\ne 0\\ \Delta =(2k{)}^2-4(1-k^2)(-2)=8-4k^2>0⟹k^2<2\end{array}$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{2k}{k^2-1},x_1{x}_2=\frac{2}{k^2-1}$ 由此可得： $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{4k^2}{(k^2-1{)}^2}-\frac{8}{k^2-1}}=\frac{\sqrt{8-4k^2}}{|k^2-1|}$ 代入弦长公式： $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{1+k^2}\sqrt{8-4k^2}}{|k^2-1|}=6\sqrt{3}$ 两边平方并整理： $\frac{(1+k^2)(8-4k^2)}{(k^2-1{)}^2}=108⟹28(k^2{)}^2-55k^2+25=0$ 解得 $k^2=\frac{5}{4}$ 或 $k^2=\frac{5}{7}$。 因为 $x_1{x}_2=\frac{2}{k^2-1}>0⟹k^2>1$， 故舍去 $\frac{5}{7}$，得： $k^2=\frac{5}{4}$ 此时 $k^2-1=\frac{1}{4}$，代回得： $x_1+x_2=8k,y_1+y_2=k(x_1+x_2)-2=8k^2-2=8$。

因为 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$， 故点 $C$ 的坐标为： $C\left(\frac{8k}{m},\frac{8}{m}\right)$ 将点 $C$ 坐标代入双曲线方程 $x^2-y^2=1$： ${\left(\frac{8k}{m}\right)}^2-{\left(\frac{8}{m}\right)}^2=1⟹\frac{64(k^2-1)}{m^2}=1⟹\frac{64\times \frac{1}{4}}{m^2}=1⟹m^2=16$ 解得： $m=\pm 4$

下面分情况计算 $△ABC$ 的面积 $S$（点 $C$ 到直线 $kx-y-1=0$ 的距离为 $d$）：

• 情况一：当 $m=4$ 时 点 $C$ 的坐标为 $(2k,2)$，代入距离公式： $d=\frac{|k(2k)-2-1|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|2k^2-3|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|2\times \frac{5}{4}-3|}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$ 面积为： $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{3}\times \frac{1}{3}=\sqrt{3}$

• 情况二：当 $m=-4$ 时 点 $C$ 的坐标为 $(-2k,-2)$，代入距离公式： $d=\frac{|k(-2k)-(-2)-1|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|-2k^2+1|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|-2\times \frac{5}{4}+1|}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$ 面积为： $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{3}\times 1=3\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线双支定义的判定、弦长公式与韦达定理的代数联立、点到直线距离。
• 核心方法：设线联立基本功、分类讨论思想。
• 避坑指南：
• 必须看清最外层的大绝对值符号 $\left||P{F}_2|-|P{F}_1|\right|=2$，这决定了轨迹是完整的双曲线，从而引出 $m=\pm 4$ 的双重解，只解出一个分支属于漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

$m=4，S=\surd 3.$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-22 解-双曲线轨迹与等腰直角三角形
• 2008-湖北卷理-19 解-双曲线
• 2008-重庆文-21 解-双曲线定义与焦半径