2006-四川卷理-20 解-级数的收敛与极限

本题导读

本题考查等差数列、对数求和、导数计算及数列极限的综合应用。第一问由递推式确立等差数列，通过求和及对数化简得到 $U_n$；第二问将 $U_n$ 代入函数，求导后利用级数展开求出 $T_n(x)$ 的封闭形式，最后计算分式极限。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$，其中 $a_1=1,a_2=3,2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}$ ($n\ge 2$). 记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，数列 $\{\ln S_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $U_n$.

(1) 求 $U_n$；

(2) 设 $F_n(x)=\frac{{\text{e}}^{U_n}}{2n(n!{)}^2}{x}^{2n}$ ($x>0$), $T_n(x)={\sum }_{k=1}^n{F}_k^{\prime }(x)$ (其中 $F_k^{\prime }(x)$ 为 $F_k(x)$ 的导函数)，计算 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：由 $2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}$ 可知 $\{a_n\}$ 为等差数列。利用首项和公差求出通项 $a_n$ 及前 $n$ 项和 $S_n$。将 $S_n$ 代入 $\ln S_n$ 后，借助对数的性质进行级数求和得到 $U_n$ 的化简式。 第二问：将 $U_n$ 的表达式代入 ${\text{e}}^{U_n}$ 转换为阶乘乘积。对 $F_n(x)$ 运用幂函数求导法则求出 $F_n^{\prime }(x)$。将其代入 $T_n(x)$ 的求和式中，观察各项结构并约简，写出 $T_n(x)$ 的解析式。最后将 $T_n(x)$ 与 $T_{n+1}(x)$ 联立，根据 $x$ 的不同取值范围分类讨论其收敛性，并求出其极限值。

✅【答案】

Success

该极限值的计算结果为：${\lim }_{n\to \infty }\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}=\{\begin{array}{l}1,0<x\le 1\\ \frac{1}{x^2},x>1\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}$ ($n\ge 2$)，所以数列 $\{a_n\}$ 是等差数列。 其公差为： $d=a_2-a_1=3-1=2$ 故通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$ 其前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$

由此可得： $\ln S_n=\ln (n^2)=2\ln n$ 根据定义， 数列 $\{\ln S_n\}$ 的前 $n$ 项和 $U_n$ 为： $U_n=2\ln 1+2\ln 2+2\ln 3+\cdots +2\ln n=2(\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln n)$ 根据对数的加法运算法则： $U_n=2\ln (1\times 2\times 3\times \cdots \times n)=2\ln (n!)$

(2) 由 (1) 可知 $U_n=2\ln (n!)=\ln [(n!{)}^2]$，代入目标函数中的指数项可得： ${\text{e}}^{U_n}={\text{e}}^{\ln [(n!{)}^2]}=(n!{)}^2$ 将此结果代入 $F_n(x)$ 的解析式中化简： $F_n(x)=\frac{(n!{)}^2}{2n(n!{)}^2}{x}^{2n}=\frac{1}{2n}{x}^{2n}$

对 $F_n(x)$ 关于 $x$ 求导数： $F_n^{\prime }(x)=\frac{1}{2n}\cdot (2n\cdot x^{2n-1})=x^{2n-1}$ 根据题意， $T_n(x)$ 是 $F_k^{\prime }(x)$ 的前 $n$ 项累加和： $T_n(x)={\sum }_{k=1}^n{F}_k^{\prime }(x)={\sum }_{k=1}^n{x}^{2k-1}=x^1+x^3+x^5+\cdots +x^{2n-1}$

由于 $x>0$，此和式是一个首项为 $x$，公比为 $x^2$ 的等比数列。 分以下两种情况讨论其封闭形式：

• 情况一：当 $x\ne 1$ 时 利用等比数列求和公式： $T_n(x)=\frac{x(1-(x^2{)}^n)}{1-x^2}=\frac{x(1-x^{2n})}{1-x^2}$ 同理可得： $T_{n+1}(x)=\frac{x(1-x^{2n+2})}{1-x^2}$ 计算两者的比值极限： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{x(1-x^{2n})}{1-x^2}}{\frac{x(1-x^{2n+2})}{1-x^2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n+2}}$ 根据 $x$ 的范围进一步分流：

• 当 $0<x<1$ 时， ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}=0$， 故： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n+2}}=\frac{1-0}{1-0}=1$

• 当 $x>1$ 时， 分子分母同除以最高次项 $x^{2n+2}$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{x^{2n+2}}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^{2n+2}}-1}=\frac{0-\frac{1}{x^2}}{0-1}=\frac{1}{x^2}$

• 情况二：当 $x=1$ 时 此时各项均为 1： $T_n(1)=1+1+\cdots +1=n$ $T_{n+1}(1)=n+1$ 计算比值极限： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{T_n(1)}{T_{n+1}(1)}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$ 注意，当 $x=1$ 时， $\frac{1}{x^2}=1$。其形式与 $0<x<1$ 的结果 1 在代数式上可以合并。

综上所述，该极限值的计算结果为： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}=\{\begin{array}{l}1,0<x\le 1\\ \frac{1}{x^2},x>1\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列前 $n$ 项和的二次方特征、对数性质在阶乘化简中的应用、等比数列求和公式的分情况讨论、无穷递增幂次的极限判定。
• 核心方法：分类讨论法、分式极限消元法。
• 避坑指南：
• 第二问求出 $T_n(x)$ 后，进行等比数列求和时务必注意公比是 $x^2$。必须严格对 $x=1$ 与 $x\ne 1$ 区分讨论，且对 $x\ne 1$ 中的 $0<x<1$ 和 $x>1$ 进行二级分流，防止遗漏极限收敛的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查数列、导数与解析极限综合跨界的高端解答压轴题。 结论推广: 针对任何形如 ${\sum }_{k=1}^n{x}^{2k-1}$ 结构的幂级数局部和，当自变量大小跨越 1 的临界阈值时， 其前后相邻项的趋近比值必然呈现由 1 向 $\frac{1}{x^2}$ 跳变的阶跃特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2008-四川文-21 解-和式递推构造等比
• 2008-大纲卷I理-21 解-等差数列