本题导读
本题考查相互独立事件的概率计算。第一问“至少有两人合格”需拆分为两人合格与三人合格两类互斥情况进行讨论；第二问计算“该课程考核都合格”需先计算出每个人两部分同时合格的综合概率，再进行独立事件的联合乘法运算。
📌【题干】
Question
（2006年四川卷(理)） 某课程考核分理论和实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”. 甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 . 所有考核是否合格互相之间没有影响.
(1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2) 求这三人该课程考核都合格的概率. (结果保留三位小数)
🔍【思路分析】
破题导航
第一问：记甲、乙、丙在理论考核中合格的事件分别为 。“至少有两人合格”包含两类互斥情况：
- 恰好有两人合格（分三类：甲乙过丙不过、甲丙过乙不过、乙丙过甲不过）。
- 三人都合格（甲乙丙全过）。 利用独立事件乘法公式分别计算，再求和。 第二问：每人该课程合格的充要条件是理论与实验均合格。
- 先分别计算出甲、乙、丙各自该课程合格的概率 。
- 因为三人考核互相独立，三人该课程都合格的概率直接等于 。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解：设甲、乙、丙在理论考核中合格的事件分别为 ，其对立事件（不合格）分别为 。 由题意知：
(1) 设“理论考核中至少有两人合格”为事件 。事件 由以下四种互斥的情况组成：
- 恰好甲、乙两人合格，丙不合格：
- 恰好甲、丙两人合格，乙不合格：
- 恰好乙、丙两人合格，甲不合格：
- 三人全部合格：
根据互斥事件的概率加法公式，事件 的概率为：
(2) 每个人该课程考核合格， 必须理论考核与实验考核同时合格。 由于理论和实验考核相互独立，分别计算甲、乙、丙三人该课程考核合格的概率：
- 甲合格的概率为：
- 乙合格的概率为：
- 丙合格的概率为：
设“这三人该课程考核都合格”为事件 。 由于三人考核是否合格互相之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式： 计算乘积值： 题目要求结果保留三位小数，对第四位小数进行四舍五入处理：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：独立事件乘法原理、互斥分类加法原理、单人复合事件（理论且实验）的概率前置折算。
- 核心方法：分步乘法与分类加法结合法。
- 避坑指南：
- 第一问计算“至少两人”时，极易漏算“三人都合格”这一极限状态，必须建立完备的分类逻辑。
- 第二问属于“多级独立乘法”，要先通过两部分成绩相乘锁死单人综合概率，然后再把三人的单人综合概率相乘，不可将 6 个数据盲目混用。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是考查概率大题（通常位于第18题）中独立事件与互斥分类计数最标准的标杆性基础应用题。 结论推广: 针对所有形如多项独立指标构成的多角色达标考核模型， 其求解宏观逻辑恒表现为：“单人内部先分步相乘，角色之间再按需分类加和或全乘”。
🔗【关联脉络】
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