2006-四川卷理-14 填-数学期望的定义式

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列特征与数学期望。核心在于利用“所有可能取值的概率之和等于1”和“期望的代数定义式”，建立关于未知参数 $a,b$ 的二元一次方程组联立求解。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 设离散型随机变量 $\xi$ 可能取的值为 1, 2, 3, 4. $P(\xi =k)=ak+b$ ($k=1,2,3,4$). 又 $\xi$ 的数学期望 $\text{E}\xi =3$，则 $a+b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

利用全概率公式列第一式：由于 $\xi$ 只能取 1, 2, 3, 4。这四个孤立状态的概率之和必须严格等于 1。即 ${\sum }_{k=1}^4(ak+b)=1$。 利用期望公式列第二式：根据期望定义 $\text{E}\xi =\sum x_i{p}_i$，将其展开为 ${\sum }_{k=1}^{4}k\cdot (ak+b)=3$。 联立求解参数：将两个关于 $a,b$ 的一次方程进行多项式化简合并，组成二元一次方程组，求出 $a$ 和 $b$ 的值并求和。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{10}$ （或 0.1）

✍【详细解析】

Abstract

解：根据离散型随机变量分布列的刚性特征，所有可能互斥状态的概率之和必须恒等于 1： ${\sum }_{k=1}^{4}P(\xi =k)=1$ 将已知概率表达式 $P(\xi =k)=ak+b$ 展开代入： $(1a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1$ 合并同类项整理得到第一个方程： $(1+2+3+4)a+4b=1⟹10a+4b=1\text{(1)}$

根据离散型随机变量数学期望的代数定义公式： $\text{E}\xi ={\sum }_{k=1}^{4}k\cdot P(\xi =k)=3$ 展开对应乘积项： $1\cdot (1a+b)+2\cdot (2a+b)+3\cdot (3a+b)+4\cdot (4a+b)=3$ $a+b+4a+2b+9a+3b+16a+4b=3$ 合并同类项整理得到第二个方程： $(1+4+9+16)a+(1+2+3+4)b=3⟹30a+10b=3\text{(2)}$

现在将 ① 式与 ② 式联立成二元一次方程组进行消元求解： $\{\begin{array}{l}10a+4b=1\text{(1)}\\ 30a+10b=3\text{(2)}\end{array}$ 将 ① 式两边同时乘以 3 得： $30a+12b=3\text{(3)}$ 将 ③ 式与 ② 式左右两边对应相减，消去未知数 $a$： $(30a+12b)-(30a+10b)=3-3⟹2b=0⟹b=0$

将 $b=0$ 代回 ① 式中： $10a+4\times 0=1⟹10a=1⟹a=\frac{1}{10}$

由此求得两参数的具体数值。题目要求计算两者的和值： $a+b=\frac{1}{10}+0=\frac{1}{10}(\text{或 }0.1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：离散型随机变量性质 $\sum p_i=1$、数学期望定义式 $\text{E}\xi =\sum x_i{p}_i$、初等二元一次方程组消元求解。
• 核心方法：方程组联立代数法。
• 避坑指南：
• 展开期望公式时，千万不要漏掉前面的系数 $k$，每一项的形式是 $k\times (ak+b)=a{k}^2+bk$，二次项级数求和 $1+4+9+16=30$ 要算准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查概率统计中分布列基本性质与期望公式定义最为基础、常规的综合换算填空题。 结论推广: 针对任何形式为 $P(X=k)=ak+b$ 的线性级数分布模型，其在对称正数离散区间内的概率分布必然呈现标准的等差数列结构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 23.02 全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

类题演练 (Links)

• 2007-福建卷理-15 填-离散型随机变量数学期望
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望
• 2020-浙江卷-16 填-数学期望