2006-四川卷理-13 填-正三棱锥的几何特征

本题导读

本题考查空间线面角的计算。核心在于利用三条棱两两互相垂直的优良几何特征建立空间直角坐标系，通过计算斜线方向向量与平面法向量的夹角余弦值，从而转化为求线面角的正弦与反三角函数表示。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 在三棱锥 $O-ABC$ 中, 三条棱 $OA、OB、OC$ 两两互相垂直, 且 $OA=OB=OC$, $M$ 是 $AB$ 边的中点, 则 $OM$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小是$\underline{}$. (用反三角函数表示)

🔍【思路分析】

破题导航

构筑空间直角坐标系：因为 $OA,OB,OC$ 两两垂直，可以以 $O$ 为原点， $OA,OB,OC$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。设 $OA=OB=OC=2$（便于中点不产生分数）。 写出核心向量坐标：确定各点坐标，写出动线 $OM$ 的方向向量 $\overrightarrow{OM}$ 以及确定底面三角形的两个向量 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$。 求解平面法向量并计算线面角：由于底面是正三角形，其法向量必为体对角线方向 $\vec{n}=(1,1,1)$。计算 $\cos ⟨\overrightarrow{OM},\vec{n}⟩$，根据线面角 $\theta$ 的正弦值满足 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{OM},\vec{n}⟩|$ 求解。

✅【答案】

Success

$\arcsin \frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为三条棱 $OA,OB,OC$ 两两互相垂直，可以以 $O$ 为坐标原点，射线 $OA,OB,OC$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 为了避免中点坐标产生分数，不妨设等长棱长为： $OA=OB=OC=2$

根据各线段的长度，直接写出空间各核心顶点的三维坐标： $O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2)$ 因为 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，根据中点坐标公式： $M\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)⟹M(1,1,0)$

由此写出动直线 $OM$ 的方向向量坐标： $\overrightarrow{OM}=(1-0,1-0,0-0)=(1,1,0)$

设平面 $ABC$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。写出平面内的两个不共线方向向量： $\overrightarrow{AB}=(0-2,2-0,0-0)=(-2,2,0)$ $\overrightarrow{AC}=(0-2,0-0,2-0)=(-2,0,2)$ 由法向量垂直于平面内的一切直线，建立方程组： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-2x+2y=0⟹x=y\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=-2x+2z=0⟹x=z\end{array}$ 令 $x=1⟹y=1,z=1$，得到平面 $ABC$ 的标准法向量为： $\vec{n}=(1,1,1)$

设直线 $OM$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\theta$，根据线面角几何意义，其正弦值严格等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{OM},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{OM}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{OM}|\cdot |\vec{n}|}$ 将两向量坐标代入进行点积与模长计算： $\sin \theta =\frac{|1\times 1+1\times 1+0\times 1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\times \sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

由于线面角的取值范围规定在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内，用反三角函数（反正弦）将角度 $\theta$ 显式表达为： $\theta =\arcsin \frac{\sqrt{6}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：两两垂直构型下的直角坐标系建立、平面法向量的求解、线面角正弦值与法向量夹角余弦值的绝对值等合转换公式。
• 核心方法：空间向量坐标法。
• 避坑指南：
• 线面角公式是 $\sin \theta$，而二面角或异面直线夹角公式是 $\cos \theta$。考场上极易在这里发生公式张冠李戴，误将 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 算成余弦写成 $\arccos$ 导致丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查高二空间向量应用中线面角计算的最标准常规基础填空母题。 结论推广: 在两两互相垂直且等长（棱长为 $a$）的直角三棱锥内， 其各条侧棱中线与底面所成线面角的正弦值恒满足一个与具体边长无关的几何常量定值，即 $\sin \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-14 填-正三棱柱线面角
• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角