2006-四川卷理-11 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查解三角形与常用逻辑用语的交汇。核心在于利用正弦定理和余弦定理对已知的边长恒等式进行无损的“边化角”或“角化边”推导，从而判定其与角度二倍角关系 $A=2B$ 的逻辑因果方向。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 设 $a、b、c$ 分别是 $△ABC$ 的三个内角 $A、B、C$ 所对的边，则 $a^2=b(b+c)$ 是 $A=2B$ 的()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

充分性判定（左 $⟹$ 右）：从已知等式 $a^2=b^2+bc$ 出发，考虑使用正弦定理“边化角”转换为： ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+\sin B\sin C$。利用 $\sin C=\sin (A+B)$ 展开进行三角恒等化简，看看能否独立推导出 $\sin (A-2B)=0$ 的形式，进而判定 $A=2B$。 必要性判定（右 $⟹$ 左）：从 $A=2B$ 出发，则 $C=\pi -3B$。同样代入正弦公式，验证左右两边边长代数式是否绝对相等。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：为了判定两命题之间的逻辑因果关系，我们对已知代数关系式 $a^2=b(b+c)$ 进行三角化简。 根据正弦定理 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$，代入等式 $a^2=b^2+bc$ 中消去外接圆直径项 $4R^2$： ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+\sin B\sin C$ 移项进行平方差展开： ${\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B=\sin B\sin C⟹(\sin A-\sin B)(\sin A+\sin B)=\sin B\sin C\text{(1)}$

在 $△ABC$ 中，利用和差化积公式可得： $\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$ $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ 由于 $A+B+C=\pi ⟹\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$，所以有： $\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2},\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}$ 将这些项相乘代回 ① 式左边： $\text{左边}=\left(2\sin \frac{A-B}{2}\sin \frac{C}{2}\right)\cdot \left(2\cos \frac{A-B}{2}\cos \frac{C}{2}\right)=\left(2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\right)\cdot \left(2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\right)$ 利用二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$： $\text{左边}=\sin (A-B)\cdot \sin C$

现在将化简后的左边重新与 ① 式右边对齐： $\sin (A-B)\cdot \sin C=\sin B\sin C$ 因为在三角形中内角 $C\in (0,\pi )⟹\sin C\ne 0$，所以等式两边可以同时除以 $\sin C$： $\sin (A-B)=\sin B$

根据正弦函数相等的解分布，在三角形中，两个角的正弦值相等只有以下两种可能：

• 分支一（两角直接相等）： $A-B=B⟹A=2B$
• 分支二（两角互补）： $(A-B)+B=\pi ⟹A=\pi$ 然而，在三角形中内角 $A$ 必须严格小于 $\pi$，故分支二 $A=\pi$ 属于几何无意义的非法解，予以舍弃。

由此证明，在三角形内，代数式 $a^2=b(b+c)$ 能够无损、等价地推导出唯一的角度关系： $A=2B$

由于推导的每一步皆为可逆的充要变形，所以 $a^2=b(b+c)$ 是 $A=2B$ 的充要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理的“边化角”应用、三角函数和差化积与倍角公式变换、正弦方程在三角形内部的合规舍解、充要条件的判定。
• 核心方法：边角转化恒等变形法。
• 避坑指南：
• 快捷代数技巧（余弦定理角化边法）：由 $A=2B⟹\sin A=\sin 2B=2\sin B\cos B$。根据正弦定理及余弦定理代入： $a=2b\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}⟹a=\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{ac}⟹a^{2}c=a^{2}b+b{c}^2-b^3⟹a^2(c-b)=b(c^2-b^2)⟹a^2(c-b)=b(c-b)(c+b)$。当 $c\ne b$ 时，两边约去 $(c-b)$ 立即得到 $a^2=b(b+c)$。而当 $c=b$ 时（等腰三角形）， $A=B⟹2B=B⟹B=0$ 非法。由此可同样快速确证其完全充要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解三角形综合大题化简思想在选择题中高密度呈现的经典好题。 结论推广: 三角形中角度满足 $A=2B$ 的几何特征，等价于边长满足唯一的代数多项式恒等式： $a^2=b^2+bc$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 02.01 常用逻辑用语
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-10 单-三角恒等变换求值
• 2013-新课标Ⅱ文-06 单-三角恒等变换
• 2023-新高考I卷-08 单-三角恒等变换