2006-四川卷理-10 单-三维空间直角三角形求角

本题导读

本题考查球面距离与二面角的求解。核心在于通过球面距离转化出球面上各点对球心所成的大圆圆心角，进而利用二面角的定义在垂直于棱的截面内计算平面角的大小。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 已知球 $O$ 的半径是 1， $A、B、C$ 三点都在球面上， $A、B$ 两点和 $A、C$ 两点的球面距离都是 $\frac{\pi }{4}$， $B、C$ 两点的球面距离是 $\frac{\pi }{3}$，则二面角 $B-OA-C$ 的大小是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

球面距离转化为圆心角：根据球面距离公式 $d=R\cdot \theta$（其中 $R=1$），可直接将弧长转化为对应的球心角： $\angle AOB=\frac{\pi }{4}$， $\angle AOC=\frac{\pi }{4}$， $\angle BOC=\frac{\pi }{3}$。 分析二面角平面角：二面角 $B-OA-C$ 的棱是直线 $OA$。因为 $OA,OB,OC$ 全为球的半径，故 $OA=OB=OC=1$。为了找准垂直于棱 $OA$ 的平面角，我们可以直接利用空间三面角模型，或者过 $B,C$ 向 $OA$ 作垂线。由于 $△AOB$ 和 $△AOC$ 分别是顶角为 $45^{\circ }$、腰长为 1 的等腰三角形，其公共棱为 $OA$，通过在直角截面内引入空间余弦定理或直接计算线段长求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设球 $O$ 的半径 $R=1$。由于 $A,B,C$ 三点都在球面上，可知 $OA=OB=OC=1$。 根据球面距离公式（大圆弧长公式 $s=R\theta$），可直接得出对应的球心角大小：

• $A、B$ 的球面距离为 $\frac{\pi }{4}⟹\angle AOB=\frac{\pi }{4}$

• $A、C$ 的球面距离为 $\frac{\pi }{4}⟹\angle AOC=\frac{\pi }{4}$

• $B、C$ 的球面距离为 $\frac{\pi }{3}⟹\angle BOC=\frac{\pi }{3}$

在各个等腰三角形中，利用余弦定理或特殊角求出各弦长：

• 在 $△BOC$ 中， $OB=OC=1,\angle BOC=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$。所以 $△BOC$ 是等边三角形，其边长为： $BC=1$
• 在 $△AOB$ 中， $OA=OB=1,\angle AOB=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$。由余弦定理得： $A{B}^2=1^2+1^2-2\times 1\times 1\times \cos 45^{\circ }=2-\sqrt{2}$
• 在 $△AOC$ 中， 同理可得： $A{C}^2=2-\sqrt{2}$

下面寻找二面角 $B-OA-C$ 的平面角。 过点 $B$ 作 $BD\perp OA$ 于 $D$，过点 $C$ 作 $C{D}^{\prime }\perp OA$ 于 $D^{\prime }$。 在直角 $△ODB$ 中，因为 $\angle AOB=45^{\circ },OB=1$： $OD=OB\cdot \cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},BD=OB\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 同理，在直角 $△O{D}^{\prime }C$ 中，由于 $△AOC\cong △AOB$： $O{D}^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2},C{D}^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $OD=O{D}^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以垂足 $D$ 与 $D^{\prime }$ 恰好在棱 $OA$ 上完美重合。 因此， $\angle BDC$ 即为二面角 $B-OA-C$ 的平面角。

在 $△BDC$ 中，已知三边长度分别为： $BD=\frac{\sqrt{2}}{2},CD=\frac{\sqrt{2}}{2},BC=1$ 根据余弦定理求出该平面角 $\angle BDC$ 的余弦值： $\cos \angle BDC=\frac{B{D}^2+C{D}^2-B{C}^2}{2\cdot BD\cdot CD}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-1^2}{2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1}{2\times \frac{1}{2}}=\frac{0}{1}=0$

因为二面角的平面角取值范围在 $[0,\pi ]$ 之间， 所以由 $\cos \angle BDC=0$ 确定该平面角的大小为： $\angle BDC=\frac{\pi }{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球面距离向球心角角度的无损转化、二面角平面角的几何作图（垂足重合判定）、平面三角形内的余弦定理求角。
• 核心方法：几何垂足还原法、三面角余弦定理法。
• 避坑指南：
• 必须先通过计算 $OD=O{D}^{\prime }$ 的长度严格验证两垂足重合在同一点 $D$，才能宣称 $\angle BDC$ 是平面角，严密性至关重要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何考查球体大圆几何性质、三面角位置关系最精妙的常规选择压轴题。 结论推广: 本题本质是高等数学球面三角学（Spherical trigonometry）中的球面余弦定理（Spherical law of cosines）： $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$。其中 $a,b,c$ 分别对应大圆弧夹角 $\angle BOC,\angle AOC,\angle AOB$，而 $A$ 则是我们要球的二面角。直接套用此定理： $\cos \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}\cos A⟹\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos A⟹\cos A=0⟹A=\frac{\pi }{2}$。利用球面余弦定理可以完全跳过作垂线和算弦长的繁琐步骤，瞬间口算秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-06 单-球面距离与二面角
• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2012-四川卷(理)-10 单-球面距离