2006-四川卷理-09 单-梯形的面积公式

本题导读

本题考查抛物线的几何性质及梯形面积的计算。核心在于灵活运用抛物线的定义，将动点到准线的垂直距离等价转化为该点到焦点的距离，从而大幅简化计算。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 直线 $y=x-3$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A、B$ 两点，过 $A、B$ 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 $P、Q$，则梯形 $APQB$ 的面积为()

A. 48　　　　　　　B. 56　　　　　　　C. 64　　　　　　　D. 72

🔍【思路分析】

破题导航

联立方程求交点坐标特征：将直线 $y=x-3⟹x=y+3$ 代入抛物线 $y^2=4x$，得到关于 $y$ 的一元二次方程，利用韦达定理写出 $y_1+y_2$ 和 $y_1{y}_2$，进而求出交点的横坐标关系。 几何模型拆解：梯形 $APQB$ 的上下底边分别是点 $A,B$ 到准线的距离 $|AP|$ 和 $|BQ|$。高是准线上两垂足间的距离 $|PQ|$。 抛物线定义代换：

• 由抛物线定义， $|AP|=x_1+\frac{p}{2}$， $|BQ|=x_2+\frac{p}{2}$。由于 $y^2=4x⟹2p=4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$。
• 高 $|PQ|$ 是两垂足在准线（ $x=-1$）上的纵坐标之差，即 $|PQ|=|y_1-y_2|$。 套用面积公式求解： $S=\frac{1}{2}(|AP|+|BQ|)\cdot |PQ|$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：对于抛物线 $y^2=4x$，其特征常数满足 $2p=4⟹p=2$。 其焦点坐标为 $F(1,0)$，准线方程为: $x=-\frac{p}{2}=-1$

将直线方程 $y=x-3$ 变形为 $x=y+3$，代入抛物线方程 $y^2=4x$ 中： $y^2=4(y+3)⟹y^2-4y-12=0$ 因式分解得 $(y-6)(y+2)=0$，直接解得两交点的纵坐标为： $y_1=6,y_2=-2$ 将纵坐标代回直线方程 $x=y+3$ 中，求出对应的横坐标：

• 当 $y_1=6$ 时， $x_1=6+3=9$，即点 $A(9,6)$；

• 当 $y_2=-2$ 时， $x_2=-2+3=1$，即点 $B(1,-2)$。

由于过 $A,B$ 向准线 $x=-1$ 引垂线，垂足为 $P,Q$。 根据平面几何结构， 梯形 $APQB$ 的各个边长参数计算如下：

• 上底与下底（动点到准线的水平距离）： $|AP|=x_1-(-1)=9+1=10$ $|BQ|=x_2-(-1)=1+1=2$
• 梯形的高（准线上两垂足的纵向距离）： 由于 $AP,BQ$ 平行于 $x$ 轴，垂足 $P,Q$ 的纵坐标严格等于 $A,B$ 的纵坐标。 $|PQ|=|y_1-y_2|=|6-(-2)|=8$

套用直角梯形的面积计算公式： $S=\frac{1}{2}\cdot (|AP|+|BQ|)\cdot |PQ|$ 代入计算所得的数值： $S=\frac{1}{2}\times (10+2)\times 8=\frac{1}{2}\times 12\times 8=6\times 8=48$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线与抛物线交点方程的求解、抛物线第一定义（点到准线距离等于点到焦点距离）、直角梯形面积公式的应用。
• 核心方法：坐标解析直接求解法。
• 避坑指南：
• 计算高 $|PQ|$ 时，注意它是两个纵坐标做差（ $|y_1-y_2|$），很多考生极易在此因惯性思维错用成横坐标之差，导致高算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何大题中考查抛物线准线几何特征非常经典的一道变形选择题。 结论推广: 设过抛物线 $y^2=2px$ 焦点的弦（或任意弦）对应两端点到准线的投影为 $P,Q$，则由此构成的直角梯形 $APQB$ 的面积通式恒满足： $S=\frac{1}{2}(x_1+x_2+p)\cdot |y_1-y_2|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-07 单-直线与抛物线交点三角形面积
• 2014-四川卷文-10 单-抛物线面积最值