2006-四川卷理-08 单-约束条件与目标函数

本题导读

本题考查线性规划数学模型的建立。核心在于根据资源的有限性（原料总库存量的上限限制）与产量的非负性，正确列出变量 $x,y$ 的不等式约束条件组。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 某厂生产甲产品每千克需用原料 $A$ 和原料 $B$ 分别为 $a_1、b_1$ 千克，生产乙产品每千克需用原料 $A$ 和原料 $B$ 分别为 $a_2、b_2$ 千克. 甲、乙产品每千克可获利润分别为 $d_1、d_2$ 元. 月初一次性购进本月用原料 $A、B$ 各 $c_1、c_2$ 千克. 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大. 在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 $x$ 千克、 $y$ 千克，月利润总额为 $z$ 元，那么，用于求使总利润 $z=d_{1}x+d_{2}y$ 最大的数学模型中，约束条件为()

A. $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+a_{2}y\ge c_1\\ b_{1}x+b_{2}y\ge c_2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

B. $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y\le c_1\\ a_{2}x+b_{2}y\le c_2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+a_{2}y\le c_1\\ b_{1}x+b_{2}y\le c_2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

D. $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+a_{2}y=c_1\\ b_{1}x+b_{2}y=c_2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

梳理单项消耗量：

• 生产甲产品 $x$ 千克：消耗原料 $A$ 为 $a_{1}x$ 千克，消耗原料 $B$ 为 $b_{1}x$ 千克。
• 生产乙产品 $y$ 千克：消耗原料 $A$ 为 $a_{2}y$ 千克，消耗原料 $B$ 为 $b_{2}y$ 千克。 按资源类别归纳总消耗：
• 原料 $A$ 总消耗量 = $a_{1}x+a_{2}y$。
• 原料 $B$ 总消耗量 = $b_{1}x+b_{2}y$。 建立边界控制：因为月初购进的原料总量分别是 $c_1$ 和 $c_2$，实际总消耗量决不能超过现有的最大库存总量，故方向一律为 $\le$。再结合产量不可能为负这一实际意义（$x\ge 0,y\ge 0$）确立完整的约束条件组。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设全月生产甲产品 $x$ 千克，生产乙产品 $y$ 千克。

• 分析原料 $A$ 的约束： 生产 1 千克甲产品需要原料 $A$ 为 $a_1$ 千克，则生产 $x$ 千克甲产品需用 $a_{1}x$ 千克原料 $A$； 生产 1 千克乙产品需要原料 $A$ 为 $a_2$ 千克，则生产 $y$ 千克乙产品需用 $a_{2}y$ 千克原料 $A$。 本月该厂生产这两种产品所消耗的原料 $A$ 的总量为 $a_{1}x+a_{2}y$。 因为本月购进的原料 $A$ 只有 $c_1$ 千克，所以总消耗量不能超过总库存： $a_{1}x+a_{2}y\le c_1$

• 分析原料 $B$ 的约束： 同理，生产 $x$ 千克甲产品需用 $b_{1}x$ 千克原料 $B$； 生产 $y$ 千克乙产品需用 $b_{2}y$ 千克原料 $B$。 本月消耗的原料 $B$ 的总量为 $b_{1}x+b_{2}y$。 因为本月购进的原料 $B$ 只有 $c_2$ 千克，所以总消耗量不能超过总库存： $b_{1}x+b_{2}y\le c_2$

• 分析产量自身约束： 实际生产中，甲、乙两种产品的生产质量产量不可能为负数，故隐式生产条件满足： $x\ge 0,y\ge 0$

将上述四个不等式联立成方程组，得到最终的数学模型约束条件为： $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+a_{2}y\le c_1\\ b_{1}x+b_{2}y\le c_2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划实际应用题中的条件翻译、原料限额的不等号方向判定。
• 核心方法：横向与纵向分类对齐法。
• 避坑指南：
• 极易混淆 (B) 与 (C) 选项。注意建立不等式时要“按原料分类对齐”，而不是“按产品分类对齐”。 (B) 选项把甲产品的两种原料消耗错绑在了一起，属于不合逻辑的张冠李戴。
• 明确“不能超过”在数学上对应的符号是小于或等于（ $\le$），而不是严格的等于（ $=$），因为原料不一定恰好全部用光。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查线性规划实际应用建模最为经典的常规基础选择题。 结论推广: 针对所有形如资源配置型的线性规划应用问题，其约束条件矩阵的通式满足： $\sum (\text{单项消耗}\times \text{产品变量})\le \text{资源限额}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题
• 2008-北京卷理-05 单-线性规划
• 2008-天津卷理-02 单-线性规划