2006-四川卷理-05 单-振幅、周期、初相的求解

本题导读

本题考查由三角函数图象确定解析式。从图象中提取振幅、零点与极值点，确定周期与初相。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 下列函数中，图象的一部分如图所示的是() ()

A. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

C. $y=\cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

提取几何特征：

• 振幅 $A=1$；
• 零点：曲线由下往上穿过 $x$ 轴的零点为 $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$；
• 极大值点：紧邻该零点右侧的最高点坐标为 $\left(\frac{\pi }{12},1\right)$。 计算周期与 $\omega$：从正走向零点到相邻最高点，恰好跨越四分之一周期，即 $\frac{1}{4}T=\frac{\pi }{12}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)$。由此求出 $T$，进而求出 $\omega$ 排除不符选项。 确定初相 $\varphi$：将顶点坐标代入剩余选项中验证。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：观察给出的三角函数图象可得：

• 函数的最大值为 1，最小值为 $-1$，故振幅 $A=1$。
• 曲线从 $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 开始向上，在 $x=\frac{\pi }{12}$ 处首次达到极大值。 从正向零点到相邻最大值点的横坐标之差等于四分之一周期： $\frac{1}{4}T=\frac{\pi }{12}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{12}=\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$ 故周期为： $T=4\times \frac{\pi }{4}=\pi$

利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，由于 $\omega >0$： $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$ 自变量 $x$ 的系数必须为 2。由此可以直接排除 A（ $\omega =1$）和 C（ $\omega =4$）。

接下来将极大值点 $\left(\frac{\pi }{12},1\right)$ 分别代入 B 和 D 选项验证：

• 验证 B 选项： $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 当 $x=\frac{\pi }{12}$ 时： $y=\sin \left(2\times \frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)=\sin 0=0\ne 1$ 计算结果为零点而非最大值点，不符，排除 B。

• 验证 D 选项： $y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 当 $x=\frac{\pi }{12}$ 时： $y=\cos \left(2\times \frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos 0=1$ 结果恰好为最大值 1，符合图象。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：由四分之一周期求 $\omega$、极值点代入验证。
• 核心方法：特征周期排除法、特殊点代入法。
• 避坑指南：
• 看到图象穿过 $x$ 轴，容易直接选正弦函数。应通过计算初相或代入顶点坐标验证。本题因初相偏移，图象等价于余弦函数，不可只看表面形式误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查由三角函数图象反求解析式。 结论推广: 正弦型曲线中，由零点 $x_1$ 到相邻极值点 $x_2$ 的水平距离满足 $\frac{1}{4}T=|x_1-x_2|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-06 单-三角周期振幅
• 2010-湖北卷文-02 单-正弦型函数的周期