2006-四川卷理-02 单-虚部的定义

本题导读

本题考查复数的代数幂次运算与概念。核心在于准确利用完全立方公式或逐步相乘展开复数，并根据定义分离出虚部的值。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(理)） 复数 $(1-\text{i}{)}^3$ 的虚部为()

A. 3　　　　　　　B. -3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. -2

🔍【思路分析】

破题导航

分步降幂展开：先计算 $(1-\text{i}{)}^2$。 完全化简：再将结果乘以 $(1-\text{i})$，利用 ${\text{i}}^2=-1$ 整理成复数的标准形式 $a+b\text{i}$。 提取虚部：虚部为 $b$，不包含虚数单位 $\text{i}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：首先计算平方项 $(1-\text{i}{)}^2$： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}+{\text{i}}^2$ 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入上式化简得： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}$

接着计算立方项 $(1-\text{i}{)}^3$： $(1-\text{i}{)}^3=(1-\text{i}{)}^2\cdot (1-\text{i})=-2\text{i}\cdot (1-\text{i})$ 展开复数乘法： $-2\text{i}+2{\text{i}}^2=-2\text{i}+2(-1)=-2-2\text{i}$

对于复数 $-2-2\text{i}$，其实部为 $-2$，虚部为 $-2$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数的乘法与乘方、 ${\text{i}}^2=-1$ 的代换、复数虚部的概念。
• 核心方法：降幂代入法。
• 避坑指南：
• 虚部的概念是指虚数单位 $\text{i}$ 前面的实数系数，不包含 $\text{i}$ 本身。部分考生易误选 $-2\text{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高考考查复数四则运算基础概念的标准题型。 结论推广: 牢记常备特殊复数幂次结论： $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$，利用该结论可极大地提高复数高次幂的运算速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-02 单-复数概念
• 2007-山东文-01 单-复数除法与实部
• 2007-广东文-02 单-复数纯虚数定参