2006-四川文-11 单-三角形边角充要条件

本题导读

本题考查解三角形，以及充要条件。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 设 $a$、$b$、$c$ 分别是 $△ABC$ 的三个内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边，则 $a^2=b(b+c)$ 是 $A=2B$ 的()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正弦定理，$a=2R\sin A$、$b=2R\sin B$、$c=2R\sin C$。
2. $a^2=b(b+c)⟺{\sin }^{2}A=\sin B(\sin B+\sin C)$。
3. 用 $C=\pi -A-B$ 及恒等式化简，得 ${\sin }^{2}A=\sin B\sin (A+B)=\sin B\sin A\cos B+\sin B\cos A\sin B$，等价于 $\sin A=\sin B\cos A+\cos B\sin A$ 结合 $\sin A=2\sin B\cos B$，即 $A=2B$。
4. 双向可推，是充要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$（$R$ 为外接圆半径），则 $a^2=b(b+c)⟺{\sin }^{2}A=\sin B(\sin B+\sin C).$ 利用 $C=\pi -A-B$，$\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，代入得 ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+\sin B(\sin A\cos B+\cos A\sin B).$ 整理并约去非零因子可得 $\sin A=2\sin B\cos B=\sin 2B$，结合角的范围知 $A=2B$，且逆推成立． 故 $a^2=b(b+c)$ 是 $A=2B$ 的充要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形边角充要条件

核心方法：由正弦定理 $a^2=b(b+c)\iff {\sin }^{2}A=\sin B(\sin B+\sin C)$，化简得 $A=2B$，是充要条件

避坑指南：用正弦定理化边为角；$a^2=b(b+c)$ 与 $A=2B$ 等价，需证双向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角形边角关系的充要条件

结论推广: $a^2=b(b+c)\iff A=2B$（正弦定理证）

方法推广: 边角互化首选正弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-03 单-充要条件与双曲线准线
• 2008-新课标Ⅰ文-09 单-向量共线充要
• 2008-福建文-02 单-充要条件与直线垂直
• 2010-四川卷文-05 单-二次函数对称充要