2006-四川文-09 单-正四棱锥外接球

本题导读

本题考查外接球，以及正四棱锥。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 如图，正四棱锥 $P-ABCD$ 底面的四个顶点 $A$、$B$、$C$、$D$ 在球 $O$ 的同一个大圆上，点 $P$ 在球面上，如果 $V_{P-ABCD}=\frac{16}{3}$，则球 $O$ 的表面积是()

A. $4\pi$　　　　　　　B. $8\pi$　　　　　　　C. $12\pi$　　　　　　　D. $16\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面正方形四顶点在大圆上，故正方形对角线长为球直径 $2R$，边长 $a=\sqrt{2}R$，底面积 $S_{\text{底}}=a^2=2R^2$。
2. 设四棱锥高为 $h$，$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h=\frac{1}{3}\cdot 2R^2\cdot h=\frac{16}{3}$，得 $R^{2}h=8$。
3. 由几何关系（顶点 $P$ 在球面上、底面在大圆上），$h=R$（正四棱锥对称性），故 $R^3=8$，$R=2$。
4. 球表面积 $S=4\pi R^2=16\pi$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

底面正方形 $ABCD$ 的四顶点在球 $O$ 的同一大圆上，故正方形对角线长为球直径 $2R$，边长为 $\sqrt{2}R$，底面积 $S_{\text{底}}=(\sqrt{2}R{)}^2=2R^2$． 由正四棱锥的对称性，顶点 $P$ 到底面的高 $h$ 等于球心 $O$ 到大圆平面的距离加上半径；结合 $P$ 在球面上可得 $h=R$． 于是 $V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 2R^2\cdot R=\frac{2R^3}{3}=\frac{16}{3},$ 解得 $R^3=8$，即 $R=2$． 球 $O$ 的表面积 $S=4\pi R^2=16\pi$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥外接球

核心方法：底面四顶点在大圆上，即底面为圆内接正方形，对角线 $=2R$；由 $V=\frac{16}{3}$ 反求 $R=2$，$S=4\pi R^2=16\pi$

避坑指南：正四棱锥底面正方形对角线是球直径 $2R$，顶点 $P$ 在球面上；体积 $\frac{1}{3}\times$底面积$\times$高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 多面体外接球：球心到各顶点等距

结论推广: 正四棱锥底面对角线是球直径

方法推广: 由体积反求高，再联系半径列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球
• 2013-新课标Ⅱ文-15 填-球表面积
• 2008-浙江文-15 填-外接球体积
• 2008-新课标Ⅰ文-14 填-六棱柱外接球