2006-北京卷理-20 解-反证法与无穷递降法

本题导读

本题为全卷压轴题，属于新定义数列综合题。核心考查对“绝对差递推关系”的深度理解。解题关键在于通过前几项的实验摸索出绝对差数列的局部周期规律，并能利用逆向递推与反证法进行严格的极限判定与无穷项证明。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1,a_2$ 是正整数，且 $a_n=|a_{n-1}-a_{n-2}|$, $n=3,4,5,\dots$，则称 $\{a_n\}$ 为“绝对差数列”. （1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （2）若“绝对差数列” $\{a_n\}$ 中， $a_{20}=3,a_{21}=0$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2},n=1,2,3,\dots$，分别判断当 $n\to \infty$ 时， $a_n$ 与 $b_n$ 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：通过尝试构造。为防止前 5 项出现 0，首两项的差距不能太大也不能太小。通过逆向反推或实验（如选择较大的数或者特殊的斐波那契数结构）可以快速构造出一个符号要求的具体数列。 第（2）问：已知 $a_{20}=3,a_{21}=0$。根据递推式 $a_n=|a_{n-1}-a_{n-2}|$ 向后正向递推：

• $a_{22}=|a_{21}-a_{20}|=|0-3|=3$
• $a_{23}=|a_{22}-a_{21}|=|3-0|=3$
• $a_{24}=|a_{23}-a_{22}|=|3-3|=0$
• $a_{25}=|a_{24}-a_{23}|=|0-3|=3$ 发现数列从第 20 项开始呈现 $3,0,3,3,0,3,3,0,\dots$ 的周期性摆动。由于项的值在 0 和 3 之间无限跳跃，当 $n\to \infty$ 时 $a_n$ 的极限显然不存在。而对于 $b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$，在周期内任意连续三项的和均为 $3+0+3=6$，可以判定其为常数数列，从而极限存在。 第（3）问：利用反证法。假设数列中只有有限个为零的项（或完全不含 0 的项）。由于数列各项均为非负整数，可以考虑项的“最大值”在没有 0 的情况下的单调递减趋势（无穷递降法），导出矛盾。

✅【答案】

Success

(1) 如 $a_1=2$，$a_2=5$，得 $2,5,3,2,1,1,0,1,1,0$；(2) $\{a_n\}$ 极限不存在，$\{b_n\}$ 极限为 $6$；(3) 证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：举出一个前五项不为零的“绝对差数列”

设 $a_1=13,a_2=8$，按照递推关系 $a_n=|a_{n-1}-a_{n-2}|$ 依次计算：

• $a_3=|8-13|=5$
• $a_4=|5-8|=3$
• $a_5=|3-5|=2$
• $a_6=|2-3|=1$
• $a_7=|1-2|=1$
• $a_8=|1-1|=0$
• $a_9=|0-1|=1$
• $a_{10}=|1-0|=1$

该数列的前十项为：13, 8, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 1。 满足前五项均不为零的要求。（注：本问答案不唯一，只要前五项不为0且满足递推关系即可）

（2）解：判断当 $n\to \infty$ 时 $a_n$ 与 $b_n$ 的极限是否存在

已知 $a_{20}=3,a_{21}=0$，根据递推公式 $a_n=|a_{n-1}-a_{n-2}|$ 向后计算：

• $a_{22}=|a_{21}-a_{20}|=|0-3|=3$
• $a_{23}=|a_{22}-a_{21}|=|3-0|=3$
• $a_{24}=|a_{23}-a_{22}|=|3-3|=0$
• $a_{25}=|a_{24}-a_{23}|=|0-3|=3$
• $a_{26}=|a_{25}-a_{24}|=|3-0|=3$

由此可知，从第 20 项开始，数列 $\{a_n\}$ 的项呈现以 3 为周期的规律不断循环： $3,0,3,3,0,3,3,0,3,\dots$

① 对于 $a_n$ 的极限：

当 $n\to \infty$ 时， $a_n$ 的值在 0 和 3 之间周期性地交替出现，并不会无限趋近于某一个确定的常数。 故 当 $n\to \infty$ 时， $a_n$ 的极限不存在。

② 对于 $b_n$ 的极限：

依据定义 $b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$。当 $n\ge 20$ 时，任意连续三项均为 $\{3,0,3\}$ 的某种排列。 故当 $n\ge 20$ 时，恒有： $b_n=3+0+3=6$ 由此可知，当 $n\ge 20$ 时， $\{b_n\}$ 是一个各项均为 6 的常数数列。 故 当 $n\to \infty$ 时， $b_n$ 的极限存在，且其极限值为 6。

（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项

采用反证法。 假设存在一个“绝对差数列” $\{a_n\}$，其中只有有限个为零的项。 那么必然存在一个正整数 $N$，当 $n\ge N$ 时， $a_n\ne 0$（即从第 $N$ 项之后开始，数列不再出现 0）。

现设 $M_n=\max \{a_n,a_{n+1}\}$ （即相邻两项中的较大者）。 因为当 $n\ge N$ 时各项均为正整数，由递推式 $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ 可知： $a_{n+2}=\max \{a_n,a_{n+1}\}-\min \{a_n,a_{n+1}\}$

因为对于 $n\ge N$ 的项， $a_n\ne a_{n+1}$（若相等，则下一项 $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|=0$，与假设矛盾）。 所以 $\min \{a_n,a_{n+1}\}\ge 1$，从而有： $a_{n+2}\le \max \{a_n,a_{n+1}\}-1=M_n-1$

同样地，对于下一项的相邻较大值 $M_{n+1}=\max \{a_{n+1},a_{n+2}\}$：

• 若 $M_{n+1}=a_{n+1}$，由于 $a_{n+1}\le \max \{a_n,a_{n+1}\}=M_n$，且 $a_{n+1}\ne a_n$，容易通过连续三项证明最大值在有限步内必然严格递减。
• 更具体地，由于 $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ 且各项非零，我们可以发现每一组连续三项 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$ 中，其最大值组成的序列 $M_n$ 随着 $n$ 的增大必然会严格单调递减。

因为数列的各项 $a_n$ 均为正整数，所以最大值 $M_n$ 也是正整数。 一个正整数序列不可能无限制地严格递减下去（无穷递降原理），必在有限步内减小到 0 或导致某一项为 0。 这与“当 $n\ge N$ 时， $a_n$ 恒不为 0”的假设产生根本矛盾。

综上所述，假设不成立。 故任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：新定义运算下的数列性质发现、周期数列的极限判定、无穷递降法（Descent Method）在正整数集中的有限性应用。
• 核心方法：反证法、不变量与变化趋势分析法。
• 避坑指南：一是第二问极易因忽视 $a_n$ 周期摆动的离散性质而盲目猜测极限为 0 或 2，必须明确有振荡轨迹的数列无极限；二是第三问的证明中，不能仅用具体数字举例（如第一问的例子）来代替一般性证明，必须引入诸如“相邻项最大值”或“局部最大值”的严格代数不等式进行递降控制。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于欧几里得算法（辗转相除法）的变形，本质是“绝对差”迭代，与斐波那契数列、模周期性及数论中 $\gcd$ 不变性密切相关，考查递推、周期与归纳推理。

结论推广：对任意正整数初值，绝对差数列必出现 $0$，且出现后进入周期循环；若某两项为 $d,0$，则后续以 $d,0,d,d,0,\dots$ 为周期，故 $\{a_n\}$ 极限不存在而 $\{b_n\}$ 极限存在。

方法推广：处理此类问题常用“枚举找周期—归纳证明—分类讨论”策略；证明无穷多个零项可用反证法，结合 $\gcd (a_{n-1},a_{n-2})=\gcd (a_n,a_{n-1})$ 与有界性推出矛盾。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-福建卷理-21 解-反证法
• 2009-辽宁文-19 解-面面垂直与反证异面