本题导读
本题核心考查概率论中独立事件与互斥事件的综合应用，以及利用代数变形（因式分解）进行复杂多变量代数式的大小比较。
📌【题干】
Question
（2006年北京卷(理)） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响． （1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
🔍【思路分析】
破题导航
第（1）问求方案一的概率 ：“至少两门及格”包含两类互斥事件：恰好有两门及格，或者三门全部及格。分别写出对应独立事件的概率相加即可。 第（1）问求方案二的概率 ：随机抽取两门有 种等可能情况。通过的条件是“选中的这两门都及格”。需按选中的课程组合进行分类（选第1、2门且都及格；选第1、3门且都及格；选第2、3门且都及格），利用全概率的思想求出总概率。 第（2）问比较大小：采用作差法计算 。将得到的代数式通过分组分解因式，利用概率的范围限制 判定差值的正负符号。
✅【答案】
Success
（1）方案一的通过概率为p1=ab+bc+ca−2abc，方案二的通过概率为p2=ab+bc+ca3
✍【详细解析】
Abstract
（1）解：分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率
设三门课程分别为 ，该应聘者及格的概率分别为 。 则不及格的概率分别为 。
① 方案一通过的概率 ：
方案一要求三门课程中“至少有两门及格”，包含以下四种互斥情况：
- 恰好 及格， 不及格：
- 恰好 及格， 不及格：
- 恰好 及格， 不及格：
- 三门全部及格：
故方案一通过的概率为：
② 方案二通过的概率 ：
方案二需要先从三门课程中随机抽取两门，共有 种等可能的抽取方案，每种方案被选中的概率均为 。 要想考试通过，选中的两门必须全部及格：
- 若选中 ，全及格的概率为：
- 若选中 ，全及格的概率为：
- 若选中 ，全及格的概率为：
故方案二通过的概率为：
（2）解：比较两种方案下考试通过的概率的大小
采用作差法，计算 ：
提取公因式 ：
对括号内的代数式进行拆项与分组因式分解：
因为 表示考试及格的概率，所以必有：
由此可得各项的取值范围：
从而有：
故 ，即 。
结论：该应聘者在方案一下考试通过的概率大于或等于在方案二下考试通过的概率。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：互斥分类事件的概率加法、多项式同构因式分解、概率边界值范围的隐性应用。
- 核心方法：多变量作差因式分解法。
- 避坑指南：一是在第（1）问求方案二的概率时，极易忘记乘以抽取课程的概率系数 ，导致求出的 发生数量级错误；二是在第（2）问化简到 后，若直接代入数字判断会缺乏严谨性，必须通过拆项分组的形式将其转化为含有 的非负乘积和结构，才能给出完美的说明理由。
📖【试题探源与推广】
Tip
（1）方案一的通过概率为p1=ab+bc+ca−2abc，方案二的通过概率为p2=ab+bc+ca3
🔗【关联脉络】
Multi column