2006-北京卷理-17 解-空间向量建系法

本题导读

本题核心考查立体几何中的线面垂直、线面平行以及二面角的求解。由于题目中给出了 $PA\perp$ 平面 $ABCD$ 且底面满足 $AB\perp AC$，这为建立空间直角坐标系提供了完美的天然垂直基底，推荐使用空间向量法高效解决。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AB\perp AC$, $PA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $PA=AB$，点 $E$ 是 $PD$ 的中点。 （1）求证： $AC\perp PB$； （2）求证： $PB\parallel$ 平面 $AEC$； （3）求二面角 $E-AC-B$ 的大小。

🔍【思路分析】

破题导航

建立空间直角坐标系：因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp AB,PA\perp AC$。又已知 $AB\perp AC$，这说明直线 $AC,AB,PA$ 三条直线两两互相垂直。可以以 $A$ 为原点，分别以 $AC,AB,PA$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 第（1）问：写出向量 $\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 的坐标，验证它们的数量积为 0 即可完成证明。 第（2）问：设平行四边形中 $AC=2b$。根据中点坐标公式求出 $E$ 点的坐标。求出平面 $AEC$ 的法向量 $\vec{n}$，证明 $\overrightarrow{PB}\cdot \vec{n}=0$，再说明 $PB\not\subset$ 平面 $AEC$ 即可得到线面平行。 第（3）问：由于 $AB\perp AC$ 且 $PA\perp AC$，由线面垂直性质易知 $AC\perp$ 平面 $PAB$，故底面内与 $AC$ 垂直的向量方向及平面 $EAC$ 的法向量夹角可用于求解二面角。或直接求出平面 $AEC$ 的法向量与平面 $ABC$ 的法向量，计算夹角余弦值。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）$45^{\circ }$．

✍【详细解析】

Abstract

空间直角坐标系的建立

以 $A$ 为原点， $AC$ 所在直线为 $x$ 轴， $AB$ 所在直线为 $y$ 轴， $PA$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 设 $PA=AB=a$，底面平行四边形中设 $AC=b$。 则相关各点的坐标分别为： $A(0,0,0)$, $C(b,0,0)$, $B(0,a,0)$, $P(0,0,a)$。

because 底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$。 依据向量关系： $\overrightarrow{BC}=(b,-a,0)$，所以 $D$ 点坐标为 $(b,-a,0)$。

because $E$ 是 $PD$ 的中点，由中点坐标公式得： $E\left(\frac{b}{2},-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$。

（1）证明：求证 $AC\perp PB$

根据各点坐标，写出向量形式： $\overrightarrow{AC}=(b,0,0),\overrightarrow{PB}=(0,a,-a)$

计算它们的数量积： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}=b\cdot 0+0\cdot a+0\cdot (-a)=0$

because $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}=0$， 故 $AC\perp PB$。

（2）证明：求证 $PB\parallel$ 平面 $AEC$

设平面 $AEC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 because $\overrightarrow{AC}=(b,0,0)$， $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{b}{2},-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$，

依据 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 且 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0$ 得： $\{\begin{array}{l}bx=0\\ \frac{b}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=0\\ y=z\end{array}$

取 $z=1$，可得平面 $AEC$ 的一个法向量为： $\vec{n}=(0,1,1)$

计算法向量与直线方向向量 $\overrightarrow{PB}=(0,a,-a)$ 的数量积： $\vec{n}\cdot \overrightarrow{PB}=0\cdot 0+1\cdot a+1\cdot (-a)=a-a=0$

because $\vec{n}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，说明直线 $PB\parallel$ 平面 $AEC$ 或 $PB\subset$ 平面 $AEC$。 又因为点 $B(0,a,0)$ 代入平面方程 $y+z=0$ 不成立，即 $B\not\subset$ 平面 $AEC$， 故 $PB\parallel$ 平面 $AEC$。

（3）解：求二面角 $E-AC-B$ 的大小

because $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以平面 $ABC$ 的法向量可取为 $\vec{m}=(0,0,1)$。 由（2）可知，平面 $AEC$ 的法向量为 $\vec{n}=(0,1,1)$。

计算两平面法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{0\times 0+0\times 1+1\times 1}{1\times \sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

观察图形可知，二面角 $E-AC-B$ 的平面角为锐角。

故二面角 $E-AC-B$ 的大小为 $45^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{4}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面垂直转化为轴线的空间向量代数化表达、线面平行的法向量判定、二面角的法向量夹角公式。
• 核心方法：空间直角坐标系法。
• 避坑指南：在第一问与第二问的证明中，很多同学喜欢用传统的纯几何法（找中点连接构造中位线平面），虽然也可以证出，但在第三问计算二面角时依然面临作高线找平面角的困难。因此，一开始就选择向量建系可以一步到位，避免在第（3）问卡壳。

📖【试题探源与推广】

Tip

（1）AC⟂PB.（2）PB∥平面AEC.（3）二面角E−AC−B的大小为135∘.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-19 解-用空间向量求二面角
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角