2006-北京卷理-16 解-三元一次方程组的解法

本题导读

本题核心考查导数符号与原函数单调性、极值之间的对应关系。解题关键在于通过导函数图象的正负号交替判定原函数极大值的具体位置，进而利用极值点条件建立方程组求解系数。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ 在点 $x_0$ 处取得极大值 5，其导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象经过点 $(1,0)$, $(2,0)$，如图所示，求： （1） $x_0$ 的值； （2） $a,b,c$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：观察导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的二次抛物线图象。当 $x<1$ 时， $f^{\prime }(x)>0$；当 $1<x<2$ 时， $f^{\prime }(x)<0$；当 $x>2$ 时， $f^{\prime }(x)>0$。依据“左增右减为极大”的判定准则，即可锁定极大值点 $x_0$。 第（2）问：求出 $f(x)$ 的导函数通式 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$。利用其过点 $(1,0)$ 和 $(2,0)$ 这一条件，可将 $b,c$ 用含 $a$ 的代数式表达。最后由第（1）问确定的极大值点位置代入原函数值 $f(x_0)=5$，解出一元一次方程即可得到全部系数。

✅【答案】

Success

参数的值分别为： $a=2,b=-9,c=12$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $x_0$ 的值

仔细观察导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象：

• 当 $x\in (-\infty ,1)$ 时，导函数图象位于 $x$ 轴上方，即 $f^{\prime }(x)>0$，此时原函数 $f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (1,2)$ 时，导函数图象位于 $x$ 轴下方，即 $f^{\prime }(x)<0$，此时原函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (2,+\infty )$ 时，导函数图象位于 $x$ 轴上方，即 $f^{\prime }(x)>0$，此时原函数 $f(x)$ 单调递增。

依据极大值的定义，函数在临界点左侧单调递增、右侧单调递减时取得极大值。 显然，在 $x=1$ 处，原函数由递增转为递减。

故原函数在 $x_0=1$ 处取得极大值，即 $x_0=1$。

（2）解：求 $a,b,c$ 的值

对原函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ 求导，得： $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$

由图象可知， $f^{\prime }(x)=0$ 的两个根分别为 $x=1$ 和 $x=2$。 依据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得： $\{\begin{array}{l}1+2=-\frac{2b}{3a}\\ 1\times 2=\frac{c}{3a}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3=-\frac{2b}{3a}\\ 2=\frac{c}{3a}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}b=-\frac{9}{2}a\\ c=6a\end{array}\text{(1)}$

由（1）知，函数在 $x_0=1$ 处取得极大值 5， 故有 $f(1)=5$。

将 $x=1$ 代入原函数解析式得： $a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1=5⟹a+b+c=5\text{(2)}$

将 ① 式中的 $b=-\frac{9}{2}a$ 和 $c=6a$ 代入 ② 式中消元： $a-\frac{9}{2}a+6a=5$ $\frac{5}{2}a=5⟹a=2$

将 $a=2$ 代回 ① 式中计算 $b$ 和 $c$：

• $b=-\frac{9}{2}\times 2=-9$
• $c=6\times 2=12$

综上所述，参数的值分别为： $a=2,b=-9,c=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：通过导数图象的正负变化判定原函数的极值点、韦达定理在导数零点中的应用。
• 核心方法：数形结合单调性判定法、代数消元法。
• 避坑指南：一是在第（1）问中，极易将导数的零点 $(1,0)$ 和 $(2,0)$ 混淆，误认为 $x=2$ 是极大值点，务必牢记**“正变负为极大（先上后下），负变正为极小（先下后上）”**；二是在第（2）问中，联立方程时不要漏掉 $f(1)=5$ 这一原函数的值条件，导数只能提供变化率信息，无法独立决定常数系数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

$（1）x0=1.（2）a=2，b=-9，c=12.$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-22 解-三次函数极值与参数范围
• 2008-广东文-09 单-导数极值点定参