2006-北京卷理-15 解-同角三角函数的基本关系

本题导读

本题主要考查三角函数的定义域、三角恒等变换以及同角三角函数关系。第一问通过分母不为 0 的条件求出函数的定义域；第二问通过化简函数解析式，再结合已知切值与象限确定对应的正弦、余弦值，代入化简后的式子求值。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1-\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)}{\cos x}$。 （1）求 $f(x)$ 的定义域； （2）设 $\alpha$ 是第四象限的角，且 $\tan \alpha =-\frac{4}{3}$，求 $f(\alpha )$ 的值。

🔍【思路分析】

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第（1）问：分式有意义的充要条件是分母不为 0，即 $\cos x\ne 0$，结合余弦函数的零点位置写出集合。 函数解析式化简：在做第（2）问前，优先展开分子中的 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，利用两角差的正弦公式化简分子，寻找分子与分母 $\cos x$ 的约分关系，以达到简化计算的目的。 第（2）问：由 $\alpha$ 在第四象限且 $\tan \alpha =-\frac{4}{3}$，利用同角三角函数平方关系求出 $\cos \alpha$ 与 $\sin \alpha$ 的确切值，代入化简后的 $f(\alpha )$ 进行求值。

✅【答案】

Success

$（1）x\ne k\pi +\pi 2（k\in Z）.（2）f(\alpha )=14$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $f(x)$ 的定义域

要使函数 $f(x)$ 有意义，必须满足分母不为 0： $\cos x\ne 0$ 解得： $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

故函数 $f(x)$ 的定义域为： $\left\{x|x\in \mathbf{R}\text{ 且 }x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$

核心步骤：函数 $f(x)$ 的恒等变形化简

首先利用两角差的正弦公式展开分子中的 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$： $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin 2x\cos \frac{\pi }{4}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2x-\cos 2x)$

将上式代入分子中得： $1-\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=1-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2x-\cos 2x)=1-\sin 2x+\cos 2x$

利用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 和 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 代入上式： $1-\sin 2x+\cos 2x=1-2\sin x\cos x+(2{\cos }^{2}x-1)=2{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x$

提公因式 $2\cos x$： $2{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=2\cos x(\cos x-\sin x)$

代回原函数 $f(x)$ 的表达式中，在定义域内约去分母 $\cos x$： $f(x)=\frac{2\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}=2(\cos x-\sin x)$

（2）解：设 $\alpha$ 是第四象限的角，求 $f(\alpha )$ 的值

由上一步化简可知： $f(\alpha )=2(\cos \alpha -\sin \alpha )$

因为 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{4}{3}$， 且 $\alpha$ 是第四象限的角，由同角三角函数基本关系及象限符号（第四象限内正弦为负，余弦为正）可得： $\cos \alpha =\frac{3}{5},\sin \alpha =-\frac{4}{5}$

将 $\cos \alpha$ 和 $\sin \alpha$ 的值代入化简后的 $f(\alpha )$ 中： $f(\alpha )=2\cdot \left[\frac{3}{5}-\left(-\frac{4}{5}\right)\right]=2\cdot \left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\right)=2\cdot \frac{7}{5}=\frac{14}{5}$

故 $f(\alpha )$ 的值是 $\frac{14}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式型三角函数定义域、二倍角公式逆向化简、同角三角函数弦切互化。
• 核心方法：因式分解约分消元法。
• 避坑指南：一是第一问写定义域必须写成集合或区间形式，不能直接写成不等式；二是第二问切忌将原始的 $\alpha$ 强行代入未化简的含 $2\alpha$ 的繁琐分式中计算，这样会导致两倍角符号判定极为冗长且容易出错。先化简解析式，再代值是处理三角解答题的黄金准则。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“三角恒等变换”章节中关于倍角公式与两角和差公式综合应用的经典高考解答题。 结论推广: 对于分式结构 $1-\sin 2x+\cos 2x$，其分子可以通过“拼凑 $1$”和倍角公式恒等变形为 $2\cos x(\cos x-\sin x)$，在各类三角函数大题的约分化简中具有极高的复现率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-16 解-三角形面积公式同角三角函数关
• 2014-江苏卷-15 解-同角三角函数