2006-北京卷理-13 填-点到直线的距离公式

本题导读

本题核心考查简单线性规划与解析几何的交汇应用。将目标函数 $|PO|$ 转化为可行域内的动点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的几何距离，通过数形结合直观判定最值点的位置。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 已知点 $P(x,y)$ 的坐标满足条件 $\{\begin{array}{l}x+y\le 4\\ y\ge x\\ x\ge 1\end{array}$，点 $O$ 为坐标原点，那么 $|PO|$ 的最小值等于$\underline{}$，最大值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

绘制可行域：画出不等式组表示的平面区域。它是由直线 $x+y=4$、 $y=x$ 以及 $x=1$ 所围成的封闭三角形区域。 理解目标函数的几何意义： $|PO|=\sqrt{x^2+y^2}$ 表示平面区域内的动点 $P(x,y)$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离。 寻找最小值点：原点 $O$ 到可行域的距离最近的点，应为原点向可行域最近的边界直线（即垂直于直线 $x=1$）作的垂线段对应的交点。 寻找最大值点：原点 $O$ 到可行域距离最远的点，必在三角形可行域的某个顶点处取得，分别计算各顶点到原点的距离即可。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}$ ； $\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先根据不等式组绘制出平面可行域区域：

• 直线 $x=1$ 右侧；
• 直线 $y=x$ 上方；
• 直线 $x+y=4$ 左下方。

这三条直线两两相交，算出三个顶点的坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=x\end{array}⟹顶点A(1,1)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ x+y=4\end{array}⟹顶点B(1,3)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=4\end{array}⟹顶点C(2,2)$。

由此，可行域是以 $A(1,1),B(1,3),C(2,2)$ 为顶点的封闭三角形区域及其内部。

目标函数 $|PO|$ 表示可行域内的动点 $P$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离。

• 求最小值： 在可行域的所有边界中，距离原点最近的边界是直线 $x=1$。 从原点 $O(0,0)$ 向直线 $x=1$ 作垂线，垂足为 $D(1,0)$。 注意到点 $D(1,0)$ 的纵坐标为 0，而可行域中该直线的范围是 $A(1,1)$ 到 $B(1,3)$，即 $y\in [1,3]$。 由于垂足 $D$ 不在可行域内，因此最近的点只能在端点 $A(1,1)$ 处取得。 所以 $|PO|$ 的最小值为点 $A(1,1)$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离： $|PO{|}_{\text{min}}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

• 求最大值： 由于可行域是个封闭凸多边形，距离原点最远的点必然在顶点处取得。分别计算三个顶点到原点的距离：

• $|OA|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
• $|OB|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
• $|OC|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

比较大小可知， $|OB|=\sqrt{10}$ 最大。 所以 $|PO|$ 的最大值为 $\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划的边界条件、距离模型的几何转化、凸多边形最值原理。
• 核心方法：数形结合图解法。
• 避坑指南：在求最小值时，很多学生容易直接用点到直线距离公式算原点到 $x=1$ 的距离得到 1，从而填错。必须验证垂足是否落在可行域线段上。本题中垂足 $(1,0)$ 不在可行域内，所以最小值在端点处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“平面解析几何”与旧教材线性规划章节的交汇创新题。 结论推广: 设区域为封闭的多边形，则区域内任一点到区域外某定点的距离平方（非线性规划目标函数）的最大值一定在多边形的顶点处取得；而最小值则可能在顶点处取得，也可能在定点向各边所作**垂线的垂足（若垂足在边上）**处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.04 距离公式汇总
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-14 填-点到直线距离公式
• 2007-广东卷理-13 填-点到直线距离公式