2006-北京卷理-12 填-余弦定理的应用

本题导读

本题核心考查解三角形中的基本定理。通过正弦定理将角的正弦值比例转化为三角形三边的长度比例，再利用余弦定理计算指定角的余弦值，从而确定角的大小。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 $\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$，则 $\angle B$ 的大小是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

正弦定理转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可知，三角形三边之比等于其对角的正弦值之比，即 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$。 引入参数设边长：可设 $a=5k$, $b=7k$, $c=8k$（其中 $k>0$）。 余弦定理求解：将三边代入余弦定理公式 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，求出 $\cos B$ 的值。 确定角的大小：根据三角形内角的范围 $B\in (0,\pi )$，由余弦值反求出 $\angle B$。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{3}$ （或 $60^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

解： 在 $△ABC$ 中，根据正弦定理的比例性质： $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$

因为已知 $\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$， 所以三边之比为： $a:b:c=5:7:8$

为了便于代数计算，设 $a=5k$, $b=7k$, $c=8k$（其中 $k>0$）。

根据余弦定理，角 $B$ 的余弦公式为： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

将三边表达式代入上式中： $\cos B=\frac{(5k{)}^2+(8k{)}^2-(7k{)}^2}{2\cdot (5k)\cdot (8k)}$ $\cos B=\frac{25k^2+64k^2-49k^2}{80k^2}$ $\cos B=\frac{40k^2}{80k^2}=\frac{1}{2}$

因为 $B$ 是 $△ABC$ 的内角，即 $0<B<\pi$， 由 $\cos B=\frac{1}{2}$ 可得： $B=\frac{\pi }{3}(\text{或 }60^{\circ })$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理的“边对角正弦”比例转换、余弦定理的结构化简。
• 核心方法：设参消元法。
• 避坑指南：一是在比例转化时，切记是“三边之比等于对角正弦值之比”，而不是直接等于角度之比；二是在计算余弦公式时，分子上减去的必须是所求角对应的对边平方（即 $-b^2$），极易因为粗心把公式中的字母顺序记错而导致计算失败。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“解三角形”章节中关于正弦定理与余弦定理综合运用的经典课后习题。 结论推广: 只要已知三角形三边的具体比例关系，由于余弦定理分子分母的次数都是二次，齐次项中的未知参数 $k^2$ 必然可以完美约去，这意味着已知三角形三边比例即可唯一确定该三角形的所有内角大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-14 填-余弦定理求角
• 2010-北京文-10 填-余弦定理求边