2006-北京卷理-10 填-幂的运算性质

本题导读

本题核心考查二项式定理的通项公式。通过写出展开式的通用项 $T_{r+1}$，将自变量 $x$ 的指数项统一合并，进而令其指数等于 2 求解指定项的系数。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 在 ${\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)}^7$ 的展开式中， $x^2$ 的系数为$\underline{}$. （用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项公式：利用二项式展开通项通式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将 $a=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$， $b=-\frac{2}{x}=-2x^{-1}$， $n=7$ 代入。 分离系数与字母：将常数系数与含 $x$ 的指数部分分别合并整理，化简为 $A\cdot x^m$ 的形式。 令指数等于 2：令 $m=2$ 解出 $r$ 的值，再将 $r$ 代入系数部分计算出最终的数值结果。

✅【答案】

Success

$-14$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据二项式定理，二项式 ${\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)}^7$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r\cdot (\sqrt{x}{)}^{7-r}\cdot {\left(-\frac{2}{x}\right)}^r$

将根式与分式统一化为指数幂的形式： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{7-r}\cdot (-2{)}^r\cdot {\left(x^{-1}\right)}^r$ $T_{r+1}={\text{C}}_7^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{\frac{7-r}{2}}\cdot x^{-r}$

利用同底数幂乘法性质，合并 $x$ 的指数部分： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{\frac{7-r}{2}-r}={\text{C}}_7^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{\frac{7-3r}{2}}$

要求 $x^2$ 的系数，令 $x$ 的指数等于 2： $\frac{7-3r}{2}=2⟹7-3r=4⟹3r=3⟹r=1$

将 $r=1$ 代入通项的系数部分中进行计算： $\text{系数}={\text{C}}_7^1\cdot (-2{)}^1=7\times (-2)=-14$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}$ 的记忆、负数幂及分数指数幂的代数化简。
• 核心方法：指数同底数合并法。
• 避坑指南：一是注意通项公式是 $T_{r+1}$，代入的第二项负号必不可少，即包含 $(-2{)}^r$，在 $r=1$ 时会产生一个负号，极易粗心漏掉负号算成 $+14$；二是分数指数幂的运算 $\frac{7-r}{2}-r=\frac{7-3r}{2}$ 必须要计算准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中二项式定理性质的高频基础应用题。 结论推广: 对于形如 ${\left(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }\right)}^n$ 展开式中寻找 $x^m$ 项的系数，其核心是解关于 $r$ 的一元一次方程 $\alpha (n-r)+\beta r=m$，若解出的 $r$ 为满足 $0\le r\le n$ 的整数，则该项存在，对应的系数为 ${\text{C}}_n^r{A}^{n-r}{B}^r$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-12 填-二项式特定项系数
• 2015-新课标Ⅱ理-15 填-二项式系数