2006-北京卷理-09 填-因式分解与约分

本题导读

本题核心考查代数分式在定点处的极限计算。由于直接代入会导致分子分母同时为 0（即 $\frac{0}{0}$ 型未定式），解题关键在于通过因式分解找出并约去导致分母为零的公共因子。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） ${\lim }_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$ 的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

识别未定式特征：尝试将 $x=-1$ 直接代入：

• 分子： $(-1{)}^2+3(-1)+2=1-3+2=0$
• 分母： $(-1{)}^2-1=1-1=0$ 属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式，说明分子和分母中均含有公共零因子 $(x+1)$。 因式分解化简：
• 对分子进行十字相乘法分解： $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$；
• 对分母进行平方差公式分解： $x^2-1=(x+1)(x-1)$。 约分求极限：消去公因式 $(x+1)$，然后将 $x=-1$ 代入剩余的连续函数中直接求值。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据极限的运算性质，先对分式的分子和分母分别进行因式分解：

• 分子分解得： $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
• 分母分解得： $x^2-1=(x+1)(x-1)$

将其代入原极限式中： ${\lim }_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}={\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}$

因为 $x\to -1$ 表示 $x$ 无限趋近于 $-1$ 但不等于 $-1$，所以公共零因子 $x+1\ne 0$，可以直接约去： ${\lim }_{x\to -1}\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}={\lim }_{x\to -1}\frac{x+2}{x-1}$

此时分母不再为 0，利用函数连续性直接将 $x=-1$ 代入求值： ${\lim }_{x\to -1}\frac{x+2}{x-1}=\frac{-1+2}{-1-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：多项式因式分解（十字相乘与平方差）、分式极限消去零因子原理。
• 核心方法：因式分解消元法。
• 避坑指南：一是切忌看到分母为 0 就直接判定极限不存在， $\frac{0}{0}$ 型未定式必须经过化简才能确定其是否有极限；二是在约分后的最后代入计算时，注意分母 $-1-1=-2$ 的负号不要漏掉，避免因粗心错算成 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选修2-2（或新教材选择性必修第三册）“导数及其应用”章节中关于极限概念引入的经典课后基础练习题。 结论推广: 对于满足 $\frac{0}{0}$ 型的通用可导分式极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$，如果 $f(x_0)=0,g(x_0)=0$ 且满足相应可导条件，根据高等数学中的洛必达法则 (L’Hôpital’s Rule)，可以直接求导化简： ${\lim }_{x\to -1}\frac{(x^2+3x+2{)}^{\prime }}{(x^2-1{)}^{\prime }}={\lim }_{x\to -1}\frac{2x+3}{2x}=\frac{2(-1)+3}{2(-1)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-江西卷理-02 单-不定式极限求法
• 2007-辽宁卷理-13 填-函数极限定理