2006-北京卷理-08 单-不等式大小比较

本题导读

本题核心考查图表信息的提取能力与线性方程组的建立。通过在环岛的三个关键交汇节点 $A,B,C$ 处建立“流入总量等于流出总量”的平衡方程，将各路段的车辆数进行定量关联，从而比较大小。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 $A,B,C$ 的机动车辆数如图所示，图中 $x_1,x_2,x_3$ 分别表示该时段单位时间通过路段 $\text{overparen}AB,\text{overparen}BC,\text{overparen}CA$ 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 $x_1,x_2,x_3$ 的大小关系是 () ()

A. $x_1>x_2>x_3$　　　　　　　　　　　　　　　B. $x_1>x_3>x_2$

C. $x_2>x_3>x_1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $x_3>x_2>x_1$

🔍【思路分析】

破题导航

理解环岛行驶方向：根据图中箭头指示，环岛内的车辆按逆时针方向行驶，即车辆流向依次为： $x_3\to A\to x_1\to B\to x_2\to C\to x_3$。 在各个节点列出平衡方程：对于每一个路口节点，单位时间内“流入该节点的车辆总数”必须严格等于“流出该节点的车辆总数”。

• 节点 $A$：流入为 $x_3+50$，流出为 $x_1+55$。
• 节点 $B$：流入为 $x_1+30$，流出为 $x_2+20$。
• 节点 $C$：流入为 $x_2+30$，流出为 $x_3+35$。 计算差值比较大小：移项化简各个方程，得出 $x_1,x_2,x_3$ 之间的两两差值，从而确定它们的大小顺序。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 仔细观察交通环岛模型图中的箭头走向，环岛内部属于流线控制：

• 路段 $\text{overparen}CA$ 的车辆数 $x_3$ 流向节点 $A$；
• 路段 $\text{overparen}AB$ 的车辆数 $x_1$ 由节点 $A$ 流向节点 $B$；
• 路段 $\text{overparen}BC$ 的车辆数 $x_2$ 由节点 $B$ 流向节点 $C$。

根据“流入量 = 流出量”的流量平衡原理，在三个路口节点分别列出方程：

1. 对于路口 $A$： 流入的车辆包括环岛内的 $x_3$ 和外部驶入的 $50$；流出的车辆包括环岛内的 $x_1$ 和驶向外部的 $55$。 $x_3+50=x_1+55⟹x_1-x_3=-5⟹x_3=x_1+5\text{(1)}$

2. 对于路口 $B$： 流入的车辆包括环岛内的 $x_1$ 和外部驶入的 $30$；流出的车辆包括环岛内的 $x_2$ 和驶向外部的 $20$。 $x_1+30=x_2+20⟹x_1-x_2=-10⟹x_2=x_1+10\text{(2)}$

3. 对于路口 $C$： 流入的车辆包括环岛内的 $x_2$ 和外部驶入的 $30$；流出的车辆包括环岛内的 $x_3$ 和驶向外部的 $35$。 $x_2+30=x_3+35⟹x_2-x_3=5$ (此方程可由 ①② 联立消去 $x_1$ 导出，符合方程组的相依性)

综合上面的等式 ① 和 ②，我们将 $x_2$ 和 $x_3$ 均用 $x_1$ 来表达：

• $x_1=x_1$
• $x_3=x_1+5$
• $x_2=x_1+10$

因为车辆数 $x_1$ 必然为正整数，显然有： $x_1<x_1+5<x_1+10⟹x_1<x_3<x_2$

即大小关系为： $x_2>x_3>x_1$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：节点流量守恒定律（平衡思想）、三元一次方程组的消元与大小比较。
• 核心方法：统一元法（将所有变量用同一个基准变量表示）。
• 避坑指南：本题最容易出错的地方是分不清流入和流出的箭头。例如在路口 $A$，容易把外部的 50 和 55 的方向弄反，或者误以为 $x_1$ 是流入 $A$ 的。在列方程前，务必用笔在图上沿箭头仔细描一遍，确保流入与流出归类准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“数系的扩充与复数的引入”以及选择性必修第三册中关于“数学建模与数学探究”章节的经典应用题。其物理原型为电学中的基尔霍夫电流定律 (Kirchhoff’s Current Law, KCL)：任一节点上流向该节点的电流代数和恒等于零。 结论推广: 对于任何封闭的单向环形网络，若其各节点外部净流入量（流入减流出）分别为 $\Delta Q_i$，则相邻环路段的流量差必有 $x_i-x_{i-1}=\Delta Q_i$。且所有节点的净流量总和必为 0（本题中：$(50-55)+(30-20)+(30-35)=-5+10-5=0$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-07 单-不等式综合大小比较
• 2007-江苏卷-09 单-比值最值与均值不等式