2006-北京卷理-07 单-幂的运算性质

本题导读

本题核心考查等比数列求和公式的应用。解题关键在于准确识别等比数列的首项、公比，并精准计算出求和项的总项数。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(理)） 设 $f(n)=2+2^4+2^7+2^{10}+\cdots +2^{3n+10}$ ($n\in \mathbf{N}$)，则 $f(n)$ 等于 ()

A. $\frac{2}{7}(8^n-1)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{2}{7}(8^{n+1}-1)$

C. $\frac{2}{7}(8^{n+3}-1)$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{2}{7}(8^{n+4}-1)$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：通用公式法 识别特征：观察各项底数均为 2，指数构成等差数列： $1,4,7,10,\dots ,3n+10$，公差为 3。由此判定 $f(n)$ 为等比数列的和。 提取基本量：首项 $a_1=2$，公比 $q=2^3=8$。 计算项数：令通项指数 $3m+1=3n+10$，求出项数。或利用等差数列项数公式： $\text{项数}=\frac{\text{末项指数}-\text{首项指数}}{\text{公差}}+1$。 公式求和：代入 $S_N=\frac{a_1(q^N-1)}{q-1}$ 展开化简。

方法二：特殊值排除法 题目对任意 $n\in \mathbf{N}$ 均成立，可取 $n=0$。 当 $n=0$ 时，末项为 $2^{3\times 0+10}=2^{10}$。此时式子从 2 一直加到 $2^{10}$。直接计算较为繁琐。 另一种思路是看项数对应的指数规律，直接代入等比数列求和公式更为不易出错。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 由已知多项式： $f(n)=2^1+2^4+2^7+2^{10}+\cdots +2^{3n+10}$

各项的指数依次为 $1,4,7,10,\dots ,3n+10$，构成首项为 1，公差为 3 的等差数列。 因此， $f(n)$ 是一个等比数列的前项和。

• 首项 $a_1=2$
• 公比 $q=\frac{2^4}{2^1}=2^3=8$

下面计算该等比数列的总项数 $N$： 末项的指数为 $3n+10$，首项的指数为 1，指数公差为 3。 根据等差数列项数公式可得： $N=\frac{(3n+10)-1}{3}+1=\frac{3n+9}{3}+1=(n+3)+1=n+4$

将首项 $a_1=2$，公比 $q=8$，项数 $N=n+4$ 代入等比数列求和公式： $f(n)=\frac{a_1(q^N-1)}{q-1}$ $f(n)=\frac{2\times (8^{n+4}-1)}{8-1}=\frac{2}{7}(8^{n+4}-1)$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列求和通式、指数式与等比数列的转化、项数精确计数。
• 核心方法：等比级数基本量法。
• 避坑指南：本题最容易出错的地方是项数的确定。许多人看到末项通项公式中含有 $n$，便想当然地认为一共有 $n$ 项或 $n+1$ 项，从而误选 A 或 B。务必通过等差数列的计数原理严格推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第二册“数列”章节中关于等比数列基本性质与求和公式的高频基础题。 结论推广: 设等比数列 $a_n=q^{An+B}$，则其前 $n$ 项和的公比必为 $q^A$。本题中指数为 $3n+10$，故公比为 $2^3=8$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标Ⅰ文-06 单-等比数列前n项和
• 2010-北京卷理-02 单-等比数列