本题导读
本题核心考查有约束条件的排列组合问题。关键是将“各位数字之和为奇数”转化为对所选数字“奇偶个数”的代数讨论。
📌【题干】
Question
（2006年北京卷(理)） 在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ()
A. 36 个 B. 24 个 C. 18 个 D. 6 个
🔍【思路分析】
破题导航
奇偶性质转化：三个整数之和为奇数，只有两种可能：
- 情况一：三个数全是奇数（奇 + 奇 + 奇 = 奇）；
- 情况二：一个数是奇数，另外两个数是偶数（奇 + 偶 + 偶 = 奇）。 统计基础元素：在 中，奇数有 3 个（），偶数有 2 个（）。 分类计算并相加：分别计算出两种情况下选出数字并排列成三位数的种数，最后求和。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
解： 在数字集合 中：
- 奇数集合为 ，共 3 个；
- 偶数集合为 ，共 2 个。
要使三位数的各位数字之和为奇数，对选出的 3 个数字进行分类讨论：
情况一：选出的 3 个数字全是奇数 从 3 个奇数中任取 3 个进行全排列组成三位数：
情况二：选出的 3 个数字为 1 个奇数和 2 个偶数 从 3 个奇数中任取 1 个，选法有 种； 从 2 个偶数中任取 2 个，选法有 种； 将选出的 3 个数字进行全排列组成三位数，排法有 种。
根据分类加法计数原理，各位数字之和为奇数的三位数共有：
故选 B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：数字之和的奇偶性判定规律、分类计数原理、排列数计算。
- 核心方法：奇偶元素分类法。
- 避坑指南：一是在分析数字之和为奇数时，容易漏掉“3个全为奇数”或“1奇2偶”中的某一种情况；二是在选出元素后，切记题目要求的是组成“三位数”，必须进行全排列 ，不能只做组合选择。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中关于数字排列的经典高频考题。 结论推广: 多个整数相加，其和的奇偶性完全由奇数的个数决定：若加数中奇数的个数为奇数个，则和为奇数；若加数中奇数的个数为偶数个（含0个），则和为偶数。与其中偶数的个数无关。
🔗【关联脉络】
Multi column