2006-北京文-12 填-向量和与差垂直

本题导读

本题考查向量的数量积，以及向量的夹角。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$\vec{b}=(\cos \beta ,\sin \beta )$，且 $\vec{a}\ne \pm \vec{b}$，那么 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$ 的夹角的大小是____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a},\vec{b}$ 是单位向量：$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$。
2. $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=0$。
3. 又 $\vec{a}\ne \pm \vec{b}$ 保证 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$ 都非零，故垂直，夹角为 $\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$|\vec{a}{|}^2={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$，同理 $|\vec{b}|=1$． $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=1-1=0$． 又 $\vec{a}\ne \pm \vec{b}$，故 $\vec{a}+\vec{b}\ne \vec{0}$ 且 $\vec{a}-\vec{b}\ne \vec{0}$， 所以 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$ 垂直，夹角为 $\frac{\pi }{2}$． （几何意义：圆 $x^2+y^2=1$ 上两条半径对应的向量的和与差是直径向量或垂直于直径的向量，此处 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，和向量与差向量垂直．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量和与差垂直

核心方法：和向量与差向量数量积，模平方差为零

避坑指南：$\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{b}$ 的数量积为 $|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=0$（单位向量），故垂直，夹角 $\frac{\pi }{2}$；注意 $\vec{a}\ne \pm \vec{b}$ 保证两向量非零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量模与数量积，向量恒等变形

结论推广: $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$，单位向量模相等即垂直

方法推广: 和向量与差向量的数量积等于模平方差，是垂直判定的常用恒等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角
• 2010-新课标Ⅰ文-02 单-向量夹角余弦
• 2009-辽宁文-04 单-向量模与夹角