2006-北京文-10 填-二项展开式指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 在 ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^7$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是____．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}=C_7^r{x}^{7-r}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^r=C_7^r(-2{)}^r{x}^{7-2r}$。
2. 令 $7-2r=3$，得 $r=2$。
3. 系数为 $C_7^2(-2{)}^2=21\times 4=84$。

✅【答案】

Success

$84$

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项 $T_{r+1}=C_7^r{x}^{7-r}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^r=C_7^r(-2{)}^r{x}^{7-2r}$． 令 $7-2r=3$，解得 $r=2$． 故 $x^3$ 的系数为 $C_7^2\times (-2{)}^2=21\times 4=84$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式指定项系数

核心方法：通项公式定位，指数为零解 r

避坑指南：$T_{r+1}=C_7^r{x}^{7-r}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^r=C_7^r(-2{)}^r{x}^{7-2r}$，令 $7-2r=3$ 得 $r=2$，系数 $C_7^2\times 4=84$；系数含 $(-2{)}^r$ 别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式定理指定项系数，常规考题

结论推广: 通项 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，令 $x$ 的指数等于目标次数解 $r$

方法推广: 系数含数字因数（如 $(-2{)}^r$）时别遗漏，$C_n^r$ 与数字系数分开算

🔗【关联脉络】

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